AL

Sistemas lineares em duas e três incógnitas

Os sistemas lineares em duas incógnitas aparecem relacionados com interseção de retas. Por exemplo, considere o sistema linear

$$ a_1 x + b_1 y = c_1 \quad (1) $$

Em que:

$a_1$: coeficiente da variável $x$ na primeira equação

$b_1$: coeficiente da variável $y$ na primeira equação

$c_1$: termo constante da primeira equação

$x$: primeira incógnita do sistema

$y$: segunda incógnita do sistema

$$ a_2 x + b_2 y = c_2 \quad (2) $$

Em que:

$a_2$: coeficiente da variável $x$ na segunda equação

$b_2$: coeficiente da variável $y$ na segunda equação

$c_2$: termo constante da segunda equação

$x$: primeira incógnita do sistema

$y$: segunda incógnita do sistema

em que os gráficos das equações são retas no plano $xy$. Cada solução $(x, y)$ desse sistema corresponde a um ponto de interseção das retas, de modo que há três possibilidades (Figura 1.1.1).

1. As retas podem ser paralelas e distintas, caso em que não há interseção e, consequentemente, não existe solução.

2. As retas podem intersectar em um único ponto, caso em que o sistema tem exatamente uma solução.

3. As retas podem coincidir, caso em que existe uma infinidade de pontos de interseção (os pontos da reta comum) e, consequentemente, uma infinidade de soluções.

Em geral, dizemos que um sistema linear é consistente se possuir pelo menos uma solução e inconsistente se não tiver solução. Assim, um sistema linear consistente de duas equações em duas incógnitas tem uma solução ou uma infinidade de soluções, não havendo outra possibilidade. O mesmo vale para um sistema linear de três equações em três incógnitas

$$ a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \quad (3) $$

Em que:

$a_1$: coeficiente da variável $x$ na primeira equação

$b_1$: coeficiente da variável $y$ na primeira equação

$c_1$: coeficiente da variável $z$ na primeira equação

$d_1$: termo constante da primeira equação

$x$: primeira incógnita do sistema

$y$: segunda incógnita do sistema

$z$: terceira incógnita do sistema

$$ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \quad (4) $$

Em que:

$a_2$: coeficiente da variável $x$ na segunda equação

$b_2$: coeficiente da variável $y$ na segunda equação

$c_2$: coeficiente da variável $z$ na segunda equação

$d_2$: termo constante da segunda equação

$x$: primeira incógnita do sistema

$y$: segunda incógnita do sistema

$z$: terceira incógnita do sistema

$$ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3 \quad (5) $$

Em que:

$a_3$: coeficiente da variável $x$ na terceira equação

$b_3$: coeficiente da variável $y$ na terceira equação

$c_3$: coeficiente da variável $z$ na terceira equação

$d_3$: termo constante da terceira equação

$x$: primeira incógnita do sistema

$y$: segunda incógnita do sistema

$z$: terceira incógnita do sistema

em que os gráficos das equações são planos. As soluções do sistema, se as houver, correspondem aos pontos em que os três planos se intersectam, de modo que, novamente, vemos que há somente três possibilidades: nenhuma solução, uma solução ou uma infinidade de soluções. (Figura 1.1.2).

Mais adiante, provaremos que nossas observações sobre o número de soluções de sistemas de duas equações lineares em duas incógnitas e de sistemas de três equações lineares em três incógnitas são válidas em geral, como segue.

Todo sistema de equações lineares tem zero, uma ou uma infinidade de soluções. Não existem outras possibilidades.

EXEMPLO 2 Um sistema linear com uma solução

Resolva o sistema linear

$$ x - y = 1 \quad (6) $$

Em que:

$x$: primeira incógnita do sistema

$y$: segunda incógnita do sistema

$$ 2x + y = 6 \quad (7) $$

Em que:

$x$: primeira incógnita do sistema

$y$: segunda incógnita do sistema

Solução Podemos eliminar $x$ da segunda equação somando $-2$ vezes a primeira equação à segunda. Isso fornece o sistema simplificado

$$ x - y = 1 \quad (8) $$

Em que:

$x$: primeira incógnita do sistema

$y$: segunda incógnita do sistema

$$ 3y = 4 \quad (9) $$

Em que:

$y$: segunda incógnita do sistema

Da segunda equação, obtemos $y = \frac{4}{3}$ e substituir esse valor na primeira equação fornece $x = 1 + y = \frac{7}{3}$. Assim, o sistema tem a solução única

$$ x = \frac{7}{3}, \quad y = \frac{4}{3} \quad (10) $$

Em que:

$x$: valor numérico da solução para a primeira incógnita

$y$: valor numérico da solução para a segunda incógnita

Geometricamente, isso significa que as retas representadas pelas equações do sistema intersectam no único ponto $(\frac{7}{3}, \frac{4}{3})$. Deixamos para o leitor conferir isso traçando os gráficos das retas.

EXEMPLO 3 Um sistema linear sem soluções

Resolva o sistema linear

$$ x + y = 4 \quad (11) $$

Em que:

$x$: primeira incógnita do sistema

$y$: segunda incógnita do sistema

$$ 3x + 3y = 6 \quad (12) $$

Em que:

$x$: primeira incógnita do sistema

$y$: segunda incógnita do sistema

Solução Podemos eliminar $x$ da segunda equação somando $-3$ vezes a primeira equação à segunda. Isso fornece o sistema simplificado

$$ x + y = 4 \quad (13) $$

Em que:

$x$: primeira incógnita do sistema

$y$: segunda incógnita do sistema

$$ 0 = -6 \quad (14) $$

Em que:

$0$: valor do lado esquerdo após a eliminação da variável $x$ e $y$

$-6$: constante resultante da combinação linear dos termos independentes

A segunda equação é contraditória, de modo que o sistema dado não tem solução. Geometricamente, isso significa que as retas correspondentes às equações do sistema original são paralelas e distintas. Deixamos para o leitor conferir isso traçando os gráficos das retas ou, então, mostrar que as retas têm a mesma inclinação, mas cortam o eixo $y$ em pontos distintos.

EXEMPLO 4 Um sistema linear com uma infinidade de soluções

Resolva o sistema linear

$$ 4x - 2y = 1 \quad (15) $$

Em que:

$x$: primeira incógnita do sistema

$y$: segunda incógnita do sistema

$$ 16x - 8y = 4 \quad (16) $$

Em que:

$x$: primeira incógnita do sistema

$y$: segunda incógnita do sistema

Solução Podemos eliminar $x$ da segunda equação somando $-4$ vezes a primeira equação à segunda. Isso fornece o sistema simplificado

$$ 4x - 2y = 1 \quad (17) $$

Em que:

$x$: primeira incógnita do sistema

$y$: segunda incógnita do sistema

$$ 0 = 0 \quad (18) $$

Em que:

$0$: igualdade idêntica obtida pela eliminação de ambas as incógnitas e constantes

A segunda equação não impõe quaisquer restrições a $x$ e $y$ e pode, portanto, ser omitida. Assim, as soluções do sistema são os valores de $x$ e $y$ que satisfazem a única equação

$$ 4x - 2y = 1 \quad (19) $$

Em que:

$x$: primeira incógnita do sistema

$y$: segunda incógnita do sistema

Geometricamente, isso significa que as retas correspondentes às duas equações do sistema original são coincidentes. Uma maneira de descrever o conjunto de soluções é resolver essa equação para $x$ em termos de $y$, obtendo $x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}y$ e, então, associar a $y$ um valor arbitrário $t$ (denominado parâmetro). Isso nos permite expressar a solução pelo par de equações (denominadas equações paramétricas)

$$ x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}t, \quad y = t \quad (20) $$

Em que:

$x$: equação paramétrica expressando a primeira incógnita em função do parâmetro $t$

$y$: variável livre definida igual ao parâmetro $t$

$t$: parâmetro arbitrário ($t \in \mathbb{R}$)

Podemos obter soluções numéricas específicas dessas equações substituindo o parâmetro por valores numéricos. Por exemplo, $t = 0$ dá a solução $(\frac{1}{4}, 0)$, $t = 1$ dá a solução $(\frac{3}{4}, 1)$ e $t = -1$ dá a solução $(-\frac{1}{4}, -1)$. O leitor pode confirmar que essas são soluções, substituindo as coordenadas nas equações dadas.

EXEMPLO 5 Um sistema linear com uma infinidade de soluções

Resolva o sistema linear

$$ x - y + 2z = 5 \quad (21) $$

Em que:

$x$: primeira incógnita do sistema

$y$: segunda incógnita do sistema

$z$: terceira incógnita do sistema

$$ 2x - 2y + 4z = 10 \quad (22) $$

Em que:

$x$: primeira incógnita do sistema

$y$: segunda incógnita do sistema

$z$: terceira incógnita do sistema

$$ 3x - 3y + 6z = 15 \quad (23) $$

Em que:

$x$: primeira incógnita do sistema

$y$: segunda incógnita do sistema

$z$: terceira incógnita do sistema

Solução Esse sistema pode ser resolvido mentalmente, pois a segunda e a terceira equações são múltiplos da primeira. Geometricamente, isso significa que os três planos coincidem e que aqueles valores de $x$, $y$ e $z$ que satisfazem a equação

$$ x - y + 2z = 5 \quad (24) $$

Em que:

$x$: primeira incógnita do sistema

$y$: segunda incógnita do sistema

$z$: terceira incógnita do sistema

automaticamente satisfazem as três equações. Assim, basta encontrar as soluções de (24). Isso pode ser feito resolvendo (24) para $x$ em termos de $y$ e $z$, depois atribuir valores arbitrários $r$ e $s$ (parâmetros) a essas duas variáveis e, então, expressar a solução por meio das três equações paramétricas

$$ x = 5 + r - 2s, \quad y = r, \quad z = s \quad (25) $$

Em que:

$x$: equação paramétrica da variável líder expressa em termos dos parâmetros $r$ e $s$

$y$: variável livre associada ao parâmetro $r$

$z$: variável livre associada ao parâmetro $s$

$r$: primeiro parâmetro real arbitrário

$s$: segundo parâmetro real arbitrário

Soluções específicas podem ser obtidas escolhendo valores numéricos para os parâmetros $r$ e $s$. Por exemplo, tomando $r = 1$ e $s = 0$, dá a solução (6, 1, 0).

Introdução à Econometria Bayesiana

Capítulo 1 - Introdução

ESTE CAPÍTULO INTRODUZ vários conceitos importantes, fornece um guia para o restante do livro e oferece uma perspectiva histórica e sugestões para leituras adicionais.

1.1 Econometria

A econometria preocupa-se principalmente em quantificar a relação entre uma ou mais variáveis $y$, chamadas de variáveis de resposta ou variáveis dependentes, e uma ou mais variáveis $x$, chamadas de regressores, variáveis independentes ou covariáveis.

A variável ou variáveis de resposta podem ser contínuas ou discretas; o último caso inclui dados binários, multinomiais e de contagem. Por exemplo, $y$ pode representar as quantidades demandadas de um conjunto de bens, e $x$ pode incluir a renda e os preços dos bens; ou $y$ pode representar o investimento em equipamentos de capital, e $x$ pode incluir medidas de vendas esperadas, fluxos de caixa e custos de empréstimos; ou $y$ pode representar a decisão de viajar de transporte público em vez de privado, e $x$ pode incluir renda, tarifas e tempo de viagem sob várias alternativas.

Além das covariáveis, assume-se que variáveis aleatórias inobserváveis afetam $y$, de modo que o próprio $y$ é uma variável aleatória. Ele é caracterizado por uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) para $y$ contínuo ou uma função de massa de probabilidade (f.m.p.) para $y$ discreto. A f.d.p. ou f.m.p. depende dos valores de parâmetros desconhecidos, denotados por $\theta$. A notação $y \sim f(y|\theta, x)$ significa que $y$ possui a f.d.p. ou f.m.p. $f(y|\theta, x)$, onde a função depende dos parâmetros e das covariáveis. É costume suprimir a dependência das covariáveis ao escrever a f.d.p. de $y$, portanto escrevemos $y \sim f(y|\theta)$ a menos que seja necessário mencionar as covariáveis explicitamente.

Os dados podem assumir a forma de observações em vários indivíduos no mesmo ponto no tempo – dados de corte transversal – ou observações ao longo de vários períodos de tempo – dados de séries temporais. Eles podem ser uma combinação de observações de corte transversal e séries temporais: dados sobre muitos indivíduos ao longo de um período de tempo relativamente curto – dados em painel – ou dados sobre um número relativamente pequeno de indivíduos ao longo de longos períodos de tempo – dados multivariados. Em alguns modelos, o pesquisador considera as covariáveis como números fixos, enquanto em outros elas são tratadas como variáveis aleatórias. Se for o último caso, sua distribuição pode ser independente da distribuição de $y$, ou pode haver dependência. Todas essas possibilidades são discutidas na Parte III.

Uma característica importante dos dados analisados por econometristas é que os dados são quase sempre observacionais, em contraste com os dados provenientes de experimentos controlados, onde os indivíduos são aleatoriamente designados para tratamentos. Dados observacionais são frequentemente gerados para fins que não a pesquisa, por exemplo, como subprodutos de dados coletados por razões governamentais e administrativas. Dados observacionais também podem ser coletados por meio de pesquisas, algumas das quais podem ser especialmente projetadas para fins de pesquisa. Independentemente de como forem coletados, no entanto, a análise de dados observacionais requer cuidados especiais, especialmente na análise de efeitos causais – a tentativa de determinar o efeito de uma covariável sobre uma variável de resposta quando a covariável é uma variável cujo valor pode ser definido por um investigador, como o efeito de participar de um programa de treinamento na renda e no emprego, ou o efeito do exercício na saúde. Quando tais dados são coletados observando o que as pessoas escolhem fazer, em vez de um experimento controlado no qual elas são instruídas sobre o que fazer, há a possibilidade de que as pessoas que escolhem fazer o treinamento ou se exercitar sejam diferentes de alguma forma sistemática das pessoas que não o fazem. Se for esse o caso, tentar generalizar o efeito do treinamento ou do exercício para pessoas que não escolhem livremente essas opções pode dar respostas enganosas. Os modelos discutidos na Parte III são projetados para lidar com dados observacionais.

Dependendo da natureza dos dados, modelos são construídos para relacionar variáveis de resposta a covariáveis. Um grande número de modelos que podem ser aplicados a tipos particulares de dados foi desenvolvido, mas, como novos tipos de conjuntos de dados podem exigir novos modelos, é importante aprender a lidar com modelos que não foram previamente analisados. Estudar como a metodologia Bayesiana tem sido aplicada a uma variedade de modelos existentes é útil para desenvolver técnicas que possam ser aplicadas a novos modelos.

1.2 Plano do Livro

A Parte I do livro estabelece as ideias básicas da abordagem Bayesiana para a inferência estatística. Ela começa com uma explicação da probabilidade subjetiva para justificar a aplicação da teoria das probabilidades a situações gerais de incerteza. Com essa base, o Teorema de Bayes é invocado para definir a distribuição a posteriori, o conceito central na inferência estatística Bayesiana. Mostramos como a distribuição a posteriori pode ser usada para resolver os problemas padrão da inferência estatística – estimação pontual e intervalar, previsão e comparação de modelos. Este material é ilustrado com o modelo de Bernoulli de lançamento de moedas. Devido à sua simplicidade, todos os cálculos relevantes podem ser feitos analiticamente.

O restante da Parte I é dedicado às propriedades gerais das distribuições a posteriori e à especificação das distribuições a priori. Essas propriedades são ilustradas com os modelos de distribuição normal e regressão linear. Para modelos mais complicados, voltamo-nos para a simulação como uma forma de estudar as distribuições a posteriori, porque é impossível fazer os cálculos necessários de forma analítica.

A Parte II é dedicada à explicação das técnicas de simulação. Começamos com os métodos clássicos de simulação que produzem amostras independentes, mas são inadequados para lidar com muitos modelos estatísticos comuns. O restante da Parte II descreve a simulação por Cadeias de Markov Monte Carlo (MCMC), um método de simulação flexível que pode lidar com uma ampla variedade de modelos.

A Parte III aplica as técnicas de MCMC a modelos comumente encontrados em econometria e estatística. Enfatizamos o design de algoritmos para analisar esses modelos como uma forma de preparar o aluno para conceber algoritmos para os novos modelos que surgirão no curso de sua pesquisa.

O Apêndice A contém definições, propriedades e notação para as distribuições de probabilidade padrão que são usadas ao longo do livro, alguns teoremas importantes de probabilidade e vários resultados úteis de álgebra matricial. O Apêndice B descreve programas de computador para implementar os métodos discutidos no livro.

1.3 Nota Histórica e Leituras Adicionais

A estatística Bayesiana recebeu o nome do Rev. Thomas Bayes (1702–1761), e contribuições importantes para as ideias, sob a rubrica de "probabilidade inversa", foram feitas por Pierre-Simon Laplace (1749–1827). Stigler (1986) é uma excelente introdução à história da estatística até o início do século XX. Outra abordagem importante para a inferência, a abordagem frequentista, foi desenvolvida em grande parte na segunda metade do século XIX. Os principais defensores da abordagem no século XX foram R. A. Fisher, J. Neyman e E. Pearson, embora o ponto de vista de Fisher difira em aspectos importantes dos outros. Howie (2002) fornece um resumo conciso do desenvolvimento da probabilidade e da estatística até a década de 1920 e, em seguida, foca no debate entre H. Jeffreys, que assumiu a posição Bayesiana, e R. A. Fisher, que argumentou contra ela.

A aplicação do ponto de vista Bayesiano a modelos econométricos foi pioneira por A. Zellner no início da década de 1960. Seu trabalho inicial é resumido em seu livro altamente influente, Zellner (1971), e ele continua a contribuir para a literatura. Um avanço importante na abordagem Bayesiana para a inferência estatística ocorreu no início da década de 1990 com a aplicação da simulação por Cadeias de Markov Monte Carlo a modelos estatísticos e econométricos. Esta é uma área ativa de pesquisa por estatísticos, econometristas e probabilistas.

Vários outros livros didáticos recentes cobrem econometria Bayesiana: Poirier (1995), Koop (2003), Lancaster (2004) e Geweke (2005). O livro de Poirier, ao contrário do presente livro e dos outros mencionados anteriormente, compara e contrasta os métodos Bayesianos com outras abordagens para estatística e econometria em grandes detalhes. O presente livro foca nos métodos Bayesianos com apenas comentários ocasionais sobre a abordagem frequentista. Dois livros didáticos que enfatizam o ponto de vista frequentista – Mittelhammer et al. (2000) e Greene (2003) – também discutem a inferência Bayesiana.

Vários livros de estatística adotam o ponto de vista Bayesiano. Berry (1996) é uma excelente introdução às ideias Bayesianas. Sua discussão sobre as diferenças entre dados observacionais e experimentais é altamente recomendada. Outro excelente livro introdutório é Bolstad (2004). Livros excelentes de nível intermediário com muitos exemplos são Carlin e Louis (2000) e Gelman et al. (2004). Em um nível mais avançado, os seguintes são especialmente recomendados: O’Hagan (1994), Robert (1994), Bernardo e Smith (1994), Lee (1997) e Jaynes (2003).

Embora direcionados a um público estatístico geral, três livros de Congdon (2001, 2003, 2005) cobrem muitos modelos econométricos comuns e utilizam extensivamente os métodos de Cadeias de Markov Monte Carlo. Schervish (1995) cobre ideias Bayesianas e frequentistas em um nível avançado.

Cálculo Avançado para Economia e Finanças

1.1 Conjuntos, Relações de Equivalência e Funções

Um conjunto é uma coleção de objetos que são elementos ou pontos do conjunto. Um subconjunto de um conjunto é uma coleção de elementos que pertencem ao conjunto original. Se $B$ é um subconjunto de $A$, eu o denotarei escrevendo $B \subseteq A$. Em geral, usarei letras maiúsculas, como $A$, para denotar conjuntos e letras minúsculas, como $a$, para denotar elementos. A interseção do conjunto $A$ e do conjunto $B$, denotada por $A \cap B$, é o conjunto composto pelos elementos comuns aos dois conjuntos originais. A união deles, denotada por $A \cup B$, é o conjunto composto por todos os elementos que pertencem a pelo menos um deles. Dois conjuntos são disjuntos se não possuem elementos em comum. Neste caso, sua interseção é o conjunto vazio, denotado por $\emptyset$. Se $B \subseteq A$, mas $B \neq A$, escreverei $B \subset A$.

Escreverei $a \in A$ se o elemento $a$ pertence ao conjunto $A$. A expressão $\exists a \in A$ significa que “existe um elemento $a$ pertencente a $A$...”, enquanto a expressão $\forall a \in A$ significa “para quaisquer elementos $a$ de $A$...”. Assim, por exemplo, se $\mathbb{N}$ é o conjunto dos números inteiros e queremos expressar o fato de que, para qualquer número inteiro, existe outro número inteiro que é exatamente o primeiro número mais um, podemos escrever $\forall n \in \mathbb{N}, \exists m \in \mathbb{N}$, tal que $m = n + 1$.

A coleção de todos os subconjuntos de $A$ é o conjunto das partes de $A$ e é indicado por $2^A$. O nome e a notação $2^A$ vêm do fato de que, se $A$ contém um número finito de elementos $n$, então o número de elementos de $2^A$ é $2^n$. Isso pode ser facilmente provado por indução.

Teorema 1.1 (Número de subconjuntos) Se um conjunto finito possui $n$ elementos, então ele possui $2^n$ subconjuntos.

Prova Esta serve como um exemplo de prova por indução. Se o conjunto $A$ é vazio, então $2^A = \{\emptyset\}$. Se o conjunto $A$ contém um elemento, $A = \{a\}$, então $2^A = \{A, \emptyset\}$. Assim, a afirmação é verdadeira para $n = 1$. Suponha que a afirmação seja verdadeira para um conjunto com $n-1$ elementos e adicione um elemento para obter um conjunto com $n$ elementos. O conjunto das partes do novo conjunto contém todos os $2^{n-1}$ subconjuntos do conjunto anterior, mais todos os $2^{n-1}$ subconjuntos obtidos pela adição do novo elemento a um dos subconjuntos antigos. Agora, $2^{n-1} + 2^{n-1} = 2^n$ e provamos que a afirmação também é válida para conjuntos com $n$ elementos. Portanto, a afirmação é válida para qualquer $n$.

Considere dois conjuntos $A$ e $B$. Seja $A \times B$ o produto cartesiano dos dois conjuntos, ou seja, o conjunto de pares ordenados $(a, b)$ com $a \in A$ e $b \in B$. A noção muito geral de uma relação é introduzida a seguir.

Definição 1.1 (Relação) Uma relação $R$ entre $A$ e $B$ é uma coleção de pares ordenados, $R \subseteq A \times B$. Se $(a, b) \in R$, diz-se que $a$ está em relação com $b$.

Os conjuntos $A$ e $B$ podem ser diferentes ou podem ser o mesmo conjunto. Se $(a, b) \in R$, pode-se escrever $aRb$. O conjunto de todos os elementos de $A$ em relação a algum elemento de $B$, $D_R = \{a \in A \mid \exists b \in B \text{ tal que } (a, b) \in R\}$, é o domínio de $R$. O conjunto de todos os elementos de $B$ em relação a algum elemento de $A$, $I_R = \{b \in B \mid \exists a \in A \text{ tal que } (a, b) \in R\}$, é a imagem ou contradomínio de $R$. A imagem de um subconjunto $A' \subseteq A$ são todos os elementos de $B$ em relação a pelo menos um elemento em $A'$. A pré-imagem ou imagem inversa de um subconjunto $B' \subseteq B$ são todos os elementos de $A$ em relação a pelo menos um elemento de $B'$. Para qualquer relação $R \subseteq A \times B$, podemos definir uma relação inversa $R^{-1} \subseteq B \times A$ com a estipulação de que $(b, a) \in R^{-1}$ se, e somente se, $(a, b) \in R$.

Embora importante, o conceito de relação é, em geral, muito genérico para uso prático. Torna-se mais significativo ao impor alguns requisitos adicionais. Estes geralmente assumem a forma de inclusão ou exclusão de pares ordenados específicos no conjunto $R$. O tipo de relação mais comumente utilizado é a relação de equivalência.

Definição 1.2 (Relação de Equivalência) Uma relação $R \subseteq A \times A$ é uma relação de equivalência no conjunto $A$ se for

• reflexiva, ou seja, $\forall a \in A, (a, a) \in R$;

• simétrica, ou seja, se $(a, b) \in R$, então $(b, a) \in R$;

• transitiva, ou seja, se $(a, b) \in R$ e $(b, c) \in R$, então $(a, c) \in R$.

Uma relação de equivalência é geralmente denotada por $\sim$ (ou outros símbolos semelhantes, como $=$), de modo que, se $R$ é uma relação de equivalência e $(a, b) \in R$, escreve-se $a \sim b$. A definição de uma relação de equivalência em um conjunto $A$ agrupa naturalmente seus elementos em classes.

Definição 1.3 (Classe de Equivalência) Considere uma relação de equivalência $R \subseteq A \times A$ definida sobre um conjunto $A$. Considere um elemento genérico $a \in A$. O conjunto $[a] = \{x \in A \mid x \sim a\}$ é a classe de equivalência de $a$. O conjunto quociente $A/R$ é o conjunto de todas as classes de equivalência.

A classe de equivalência $[a]$ é a imagem do elemento $a$ na relação de equivalência. As classes de equivalência particionam o conjunto $A$ em subconjuntos disjuntos.

Teorema 1.2 As diferentes classes de equivalência são disjuntas, e sua união é o conjunto $A$ inteiro.

Prova Considere duas classes de equivalência $[a]$ e $[b]$. Se $\exists x \in [a] \cap [b]$, então $x \sim a$ e $x \sim b$, e, pela propriedade transitiva, $a \sim b$. Ou seja, $[a] = [b]$. Para a segunda parte do teorema, note que $A = \cup_{a \in A} [a]$.

O exemplo a seguir define uma relação de equivalência no conjunto dos números naturais, incluindo o zero, $\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$, e identifica suas classes de equivalência.

Exemplo 1.1 Equivalência módulo $p$ Considere um número natural $p > 1$. No conjunto $\mathbb{N}_0$, defina a seguinte relação $R$: dois números $n$ e $m$ estão relacionados se forem iguais ou se sua diferença (o maior menos o menor) for um múltiplo de $p$. Esta relação é reflexiva e simétrica por construção. Além disso, se $mRn$ e $nRl$, então $mRl$ (você pode provar isso considerando todas as ordens possíveis dos três números). Assim, $R$ é uma relação de equivalência em $\mathbb{N}_0$. As classes de equivalência são denotadas por $[0], [1], \dots, [p - 1]$. A classe $[k]$, com $k = 0, \dots, p - 1$, contém os números $\{k, k + p, k + 2p, k + 3p, \dots\}$.

Um tipo de relação comumente utilizado é o de funções.

Definição 1.4 (Função) Considere a relação $R \subseteq A \times B$. Se $\forall a \in D_R, \exists! b \in B$ tal que $(a, b) \in R$, então $R$ é uma função ou mapa.

Uma função de $A$ para $B$ é uma relação que atribui exatamente um elemento de $B$ a cada elemento de seu domínio $D_R \subseteq A$. As funções gozam de uma notação especial. Uma função de $A$ para $B$ é frequentemente denotada por $f: D_R \subseteq A \to B$ e, se $(a, b) \in f$, escreve-se $f(a) = b$.

Definição 1.5 Considere uma função $f: A \to B$. A função $f$ é injetiva se $\forall b \in I_f, \exists! a \in D_f$ tal que $f(a) = b$. A função $f$ é sobrejetiva se $I_f = B$. A função $f$ é bijetiva (ou uma correspondência um-para-um) se for injetiva e sobrejetiva.

Em outros termos, uma função é injetiva se qualquer elemento da imagem possui uma pré-imagem composta por um único elemento, enquanto é sobrejetiva se possui a maior imagem possível.

Com algum abuso de notação, denotarei por $f(A')$ com $A' \subseteq A$, o conjunto das imagens dos pontos em $A'$, $f(A') = \{b \in B \mid \exists a \in A', f(a) = b\}$, e por $f^{-1}(B')$ com $B' \subseteq B$, o conjunto dos pontos em $A$ que são pré-imagens dos pontos em $B'$, $f^{-1}(B') = \{a \in A \mid \exists b \in B', f(a) = b\}$. Em geral, a inversa de uma função não é uma função. No entanto, se $f$ é injetiva, então $\forall y \in I_f$, o conjunto $f^{-1}(y)$ contém um único elemento, de modo que $f^{-1}$ é uma função.

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Dinâmica Não Linear e Pseudofunções de Produção - Anwar Shaikh

INTRODUÇÃO

A função de produção agregada é uma construção neoclássica fundamental. No nível teórico, é utilizada em praticamente todos os ramos da análise econômica. No nível empírico, é usada para analisar os determinantes da mudança técnica e da utilização da capacidade, e quase meio século após o célebre artigo de Solow de 1957, continua sendo o método de contabilidade para os determinantes do crescimento. No entanto, os fundamentos teóricos dessa construção são frágeis, porque não pode ser baseada em nenhum microfundamento plausível [Samuelson, 1962; 1966; 1979; Garegnani, 1970; Fisher 1971a, b; 1987; 1993; Harcourt, 1972; 1976; 1994; Solow, 1987, 25; McCombie, 2000-2001, 268; Felipe and Holz, 1999; Felipe and Adams, 2005]. É curioso que uma tradição tão insistente na necessidade de microfundamentos dependa tão pesadamente de uma construção que não pode ser derivada de microfundamentos.

Os defensores afirmam que as funções de produção agregadas valem a pena ser mantidas porque possuem virtudes importantes e porque parecem funcionar em nível empírico. Paul Douglas [1976, 914, citado em McCombie e Dixon, 1991, 24] expressa esse sentimento da forma mais aberta: “Um corpo considerável de trabalho independente tende a corroborar a fórmula original de Cobb-Douglas, mas, mais importante, a coincidência aproximada dos coeficientes estimados com as parcelas reais recebidas também fortalece a teoria competitiva da distribuição e refuta a marxista.” Robert Solow, de longe o contribuinte mais importante para esta tradição, assume uma posição mais nuançada, mas chega à mesma conclusão: “O estado da arte atual em relação à estimação e uso de funções de produção agregadas é melhor descrito como uma Ambivalência Determinada. Todos nós fazemos isso e todos nós fazemos com a consciência pesada... Uma ou mais funções de produção agregadas são uma parte essencial de todo modelo macroeconômico completo... Parece inevitável... Não parece haver alternativa prática... [No entanto, n]inguém pensa que exista algo como uma função de produção agregada ‘verdadeira’. Usar a estimativa de uma relação que não existe é algo que inevitavelmente causa desconforto” [Solow, 1987, 15].

Apesar dessas ressalvas, Solow argumenta que as funções de produção agregadas continuam a ser usadas porque parecem funcionar: elas fornecem “uma maneira prática de representar a relação entre a disponibilidade de insumos e a capacidade de produzir produto” [Solow 1987, 16], ao mesmo tempo em que fornecem uma maneira “de reproduzir os fatos distributivos” de uma forma que “reforça a teoria da produtividade marginal... da distribuição” [Solow 1987, 16-17].

Vale a pena enfatizar que um “bom” ajuste¹ entre o produto agregado e variáveis como capital, trabalho e tempo pode surgir de uma ampla variedade de formas funcionais, variando desde aquelas com coeficientes fixos de insumo-produto até aquelas com coeficientes suavemente variáveis. Mas mesmo coeficientes suavemente variáveis não são suficientes, uma vez que podem não ser de caráter neoclássico. Portanto, para que qualquer bom ajuste empírico desse tipo seja lido como um apoio à teoria neoclássica, algo mais é necessário. Duas condições adicionais são críticas. Primeiro, os coeficientes suavemente variáveis devem fazer parte de uma forma funcional que represente uma função de produção neoclássica “bem-comportada” (Cobb-Douglas, CES, Translog, etc.). Segundo, a função deve ter elasticidades de produto estimadas que correspondam às parcelas observadas de salários e lucros (fatores), fornecendo assim apoio à teoria da produtividade marginal da distribuição. Como Solow certa vez observou, “se Douglas tivesse descoberto que a parcela do trabalho era de 25% e a do capital de 75%, não estaríamos agora falando sobre funções de produção agregadas” [McCombie 2000-2001, 269, nota de rodapé 1, citando uma observação de Solow a Fisher, citada em Fisher 1971b].

Isso nos leva às questões centrais no debate sobre as funções de produção agregadas neoclássicas. As funções de produção agregadas realmente “funcionam” no sentido precedente? Quando parecem funcionar, isso pode ser tomado como evidência de apoio à teoria neoclássica de produção e distribuição? E, finalmente, elas podem fornecer medidas confiáveis de mudança técnica e uma decomposição das fontes de crescimento?

Para abordar essas questões, usamos dois conjuntos de dados diferentes. O primeiro conjunto é derivado do modelo de Goodwin da teoria de Marx do desemprego persistente. O fato de possuir tecnologia de coeficientes fixos significa que os produtos marginais não podem sequer ser definidos, enquanto o fato de exibir mudança técnica Harrod-Neutra significa que nem mesmo os produtos marginais “substitutos” samuelsonianos podem ser construídos [Shaikh, 1987]. E sua proveniência marxiana é particularmente apropriada à luz da afirmação previamente citada de Douglas de que sua função ajustada empiricamente “refuta a [teoria marxista da distribuição]”. O segundo conjunto são dados reais dos EUA. Assim, temos um grupo de controle cujo processo gerador é transparente e estritamente não neoclássico, e um conjunto de dados cujo processo gerador é objeto de disputa. Os dois conjuntos de dados parecem muito semelhantes.

Em ambos os casos, as parcelas dos salários são aproximadamente estáveis, de modo que a Cobb-Douglas é a função de produção neoclássica apropriada para teste. Em ambos os casos, as funções ajustadas padrão não funcionam bem.

A próxima seção explica a dificuldade fundamental de distinguir entre uma função de produção agregada neoclássica hipotética e uma identidade de contabilidade nacional. A Seção 3 introduz nossos dois conjuntos de dados e a Seção 4 investiga suas propriedades econométricas. A Seção 5 deriva procedimentos de “Ajuste Perfeito” que tornam possível transformar uma função de produção ajustada que não funciona bem em uma que parece funcionar perfeitamente. A Seção 6 fornece um resumo e conclusões.

A IMPORTÂNCIA DA IDENTIDADE CONTÁBIL

Se definirmos $Y_t$, $L_t$, $K_t$ e $w_t$ como produto real, trabalho, capital e salário real, respectivamente, então a taxa de lucro observada $r_t = \text{lucros/capital} = (Y_t - w_t \cdot L_t)/K_t$. Isso gera uma identidade contábil que é linear em $Y$, $K$, $L$ e que sempre "fecha as contas".

$$ Y_t = w_t \cdot L_t + r_t \cdot K_t \quad (1) $$

Em que:

$Y_t$: Produto real (ou valor agregado) no período t

$w_t$: Salário real no período t

$L_t$: Quantidade de trabalho no período t

$r_t$: Taxa de lucro observada no período t

$K_t$: Estoque de capital no período t

Uma relação de produção hipotética da forma geral 

$$ Y_t = F(L_t, K_t) \quad (2) $$

Em que:

$Y_t$: Produto real (ou valor agregado) no período t

$F$: Função de produção hipotética

$L_t$: Quantidade de trabalho no período t

$K_t$: Estoque de capital no período t

pode, no entanto, representar muitas condições subjacentes diferentes. Pode ser uma tecnologia de coeficientes fixos com uma única técnica dominando todas as outras no espaço salário-lucro (preço dos fatores), como está implícito em Harrod, Goodwin e muitos outros [Shaikh, 1987]. Pode representar uma relação insumo-produto com saltos ao longo de uma fronteira salário-lucro com quinas nos pontos de mudança de uma técnica para outra [Michl, 1999, 196]. Ou pode representar um conjunto de coeficientes suavemente variáveis, seja porque a fronteira salário-lucro corresponde a um espectro infinito de métodos de produção de coeficientes fixos [Garegnani, 1970], seja porque representa a agregação de funções de produção em nível microeconômico [Fisher, 1971b; 1987; 1993]. Em nenhum desses casos a forma funcional $Y = f(K, L)$ é necessariamente "bem-comportada" no sentido neoclássico tradicional. Pelo contrário, mesmo quando os coeficientes variam suavemente, pode-se obter relações agregadas que parecem ser horrendamente mal comportadas [Garegnani, 1970, 430]. Como Fisher [1993] enfatizou, nem mesmo ajuda começar assumindo funções de produção microeconômicas bem comportadas, porque as condições necessárias para produzir uma relação agregada satisfatória são impossivelmente rigorosas.

Mas suponha que simplesmente postulemos a existência de uma função de produção agregada (aproximada) na qual os preços dos fatores sejam iguais aos respectivos produtos marginais, e na qual vigorem retornos constantes de escala (de modo que a soma dos insumos ponderada pelos preços dos fatores "feche as contas" com o produto total). Essas suposições adicionais então sobrepõem à Equação (2) as seguintes condições:

$$ \frac{\partial Y_t}{\partial L_t} \equiv MPL_t = w_t \quad (3) $$

Em que:

$\frac{\partial Y_t}{\partial L_t}$: Derivada parcial do produto em relação ao trabalho

$MPL_t$: Produto Marginal do Trabalho no período t

$w_t$: Salário real no período t

$$ \frac{\partial Y_t}{\partial K_t} \equiv MPK_t = r_t \quad (4) $$

Em que:

$\frac{\partial Y_t}{\partial K_t}$: Derivada parcial do produto em relação ao capital

$MPK_t$: Produto Marginal do Capital no período t

$r_t$: Taxa de lucro no período t

$$ Y_t = MPL_t \cdot L_t + MPK_t \cdot K_t \quad (5) $$

Em que:

$Y_t$: Produto real (ou valor agregado) no período t

$MPL_t$: Produto Marginal do Trabalho no período t

$L_t$: Quantidade de trabalho no período t

$MPK_t$: Produto Marginal do Capital no período t

$K_t$: Estoque de capital no período t

(decorrente da suposição de retornos constantes de escala).

As Equações (2)-(5) incorporam as suposições neoclássicas padrão sobre a produção agregada. Juntas, elas implicam que 

$$ Y_t = w_t \cdot L_t + r_t \cdot K_t \quad (6) $$

Em que:

$Y_t$: Produto real (ou valor agregado) no período t

$w_t$: Salário real no período t

$L_t$: Quantidade de trabalho no período t

$r_t$: Taxa de lucro no período t

$K_t$: Estoque de capital no período t

O problema é que essa relação já se mantém na forma da identidade contábil (Equação (1)), de forma totalmente independente de qualquer especificação de relações de produção ou distribuição. Segue-se que impor suposições neoclássicas padrão sobre a produção agregada torna impossível distinguir o argumento neoclássico de uma mera tautologia. Como Solow [1974, 121] observa, a única função real dessas suposições é interpretar a identidade contábil.

Mas deixar as coisas nesse ponto implicaria que a construção mais fundamental da macroeconomia neoclássica é um mero artigo de fé [Ferguson, 1971]. Solow, portanto, passa a especificar o que considera ser um teste adequado das hipóteses neoclássicas padrão: "Quando alguém afirma que as funções de produção agregadas funcionam, ele quer dizer a) que elas fornecem um bom ajuste aos dados de insumo-produto sem a intervenção de dados derivados das participações dos fatores; b) que a função assim ajustada tem derivadas parciais que imitam de perto os preços observados dos fatores... [e c) já que] a mudança técnica é sempre representada por uma função suave do tempo (ou de outra coisa)... parte do teste é saber se os resíduos são bem comportados" [Solow, 1974, 121 e nota de rodapé 1].

Como já observado, os dois primeiros são exigidos pela teoria da função de produção agregada, mas o terceiro é meramente uma prática econométrica padrão, já que nada na teoria exige que a mudança técnica seja uma função suave do tempo [Shaikh, 1980, 86-87; Felipe e Adams, 2005, 435; McCombie, 1998; McCombie, 2000-2001, 281-82]. Por exemplo, se o ritmo da mudança técnica neutra variasse com a taxa de crescimento, então a própria taxa de mudança técnica seria pró-cíclica e possivelmente altamente variável.

Com isso em mente, consideramos se as funções de produção agregadas realmente "funcionam" no sentido de Solow. Mas, primeiro, precisamos abordar a questão dos dados.

FINANÇAS FUNCIONAIS E A DÍVIDA FEDERAL - ABBA P. LERNER

FINANÇAS FUNCIONAIS E A DÍVIDA FEDERAL

POR ABBA P. LERNER

LERNER, A. P. Functional finance and the federal debt. Social Research, v. 10, n. 1, p. 38-51, 1943.

À parte a necessidade de vencer a guerra, não há tarefa enfrentada pela sociedade hoje tão importante quanto a eliminação da insegurança econômica. Se falharmos nisso após a guerra, a atual ameaça à civilização democrática surgirá novamente. É essencial, portanto, que enfrentemos este problema, mesmo que isso envolva um pouco de reflexão cuidadosa e mesmo que o pensamento se prove um tanto contrário às nossas preconcepções.

Nos últimos anos, os princípios pelos quais a ação governamental apropriada pode manter a prosperidade foram adequadamente desenvolvidos, mas os proponentes dos novos princípios ou não viram suas plenas implicações lógicas, ou mostraram uma solicitude excessiva que os levou a tentar poupar o público do necessário exercício mental. Isso funcionou como um bumerangue. Muitos de nossos homens de mente pública que chegaram a ver que os gastos deficitários realmente funcionam ainda se opõem à manutenção permanente da prosperidade porque, em sua falha em compreender como tudo funciona, eles se assustam facilmente com contos de fadas sobre consequências terríveis.

I

Conforme formulado por Alvin Hansen e outros que desenvolveram e popularizaram a nova teoria fiscal (que foi apresentada pela primeira vez de forma substancialmente completa por J. M. Keynes na Inglaterra), ela soa um pouco menos inovadora e absurda aos nossos ouvidos pré-condicionados do que quando apresentada em sua forma mais simples e lógica, com todas as implicações não ortodoxas expressamente formuladas. Em alguns casos, a formulação menos chocante pode ser intencional, como um dispositivo tático para ganhar atenção séria. Em outros casos, deve-se não ao desejo de adoçar a pílula, mas ao fato de que os próprios escritores não viram todas as implicações não ortodoxas — talvez comprometendo-se subconscientemente com sua própria educação ortodoxa. Mas agora são esses compromissos que estão sob fogo. Agora, mais do que nunca, é necessário colocar os teoremas em sua forma mais pura. Somente assim será possível limpar o ar de objeções que realmente dizem respeito a desajeitamentos que aparecem apenas quando a nova teoria é forçada a caber no velho arcabouço teórico.

Fundamentalmente, a nova teoria, como quase toda descoberta importante, é extremamente simples. De fato, é essa simplicidade que faz o público suspeitar dela por ser simples demais. Até mesmo professores eruditos, que acham difícil abandonar hábitos de pensamento enraizados, reclamaram que é "meramente lógica" quando não conseguiam encontrar falhas nela. O progresso que a teoria fez até agora não foi alcançado simplificando-a, mas vestindo-a para torná-la mais complicada e acompanhando a apresentação com estatísticas impressionantes, porém irrelevantes.

A ideia central é que a política fiscal do governo, seus gastos e tributação, seus empréstimos e reembolsos de empréstimos, sua emissão de novo dinheiro e sua retirada de dinheiro, devem todos ser empreendidos com um olhar voltado apenas para os resultados dessas ações sobre a economia, e não para qualquer doutrina tradicional estabelecida sobre o que é sólido ou não.

Este princípio de julgar apenas pelos efeitos tem sido aplicado em muitos outros campos da atividade humana, onde é conhecido como o método da ciência em oposição ao escolasticismo. O princípio de julgar as medidas fiscais pela maneira como elas trabalham ou funcionam na economia podemos chamar de Finanças Funcionais.

A primeira responsabilidade financeira do governo (já que ninguém mais pode assumir essa responsabilidade) é manter a taxa total de gastos no país em bens e serviços nem maior nem menor do que aquela taxa que, aos preços atuais, compraria todos os bens que é possível produzir.

Se for permitido que os gastos totais ultrapassem este nível, haverá inflação, e se for permitido que fiquem abaixo deste nível, haverá desemprego. O governo pode aumentar os gastos totais gastando mais ele mesmo ou reduzindo os impostos para que os contribuintes tenham mais dinheiro sobrando para gastar. Pode reduzir os gastos totais gastando menos ele mesmo ou aumentando os impostos para que os contribuintes tenham menos dinheiro sobrando para gastar. Por esses meios, os gastos totais podem ser mantidos no nível necessário, onde serão suficientes para comprar os bens que podem ser produzidos por todos os que querem trabalhar, e ainda assim não serão suficientes para gerar inflação ao demandar (aos preços atuais) mais do que pode ser produzido.

Ao aplicar esta primeira lei das Finanças Funcionais, o governo pode se ver coletando mais em impostos do que está gastando, ou gastando mais do que coleta em impostos. No primeiro caso, pode manter a diferença em seus cofres ou usá-la para pagar parte da dívida nacional, e no segundo caso teria que prover a diferença por meio de empréstimos ou imprimindo dinheiro. Em nenhum dos casos o governo deve sentir que há algo especialmente bom ou ruim neste resultado; deve apenas concentrar-se em manter a taxa total de gastos nem muito pequena nem muito grande, prevenindo assim tanto o desemprego quanto a inflação.

Um corolário interessante, e para muitos chocante, é que a tributação nunca deve ser empreendida meramente porque o governo precisa fazer pagamentos em dinheiro. De acordo com os princípios das Finanças Funcionais, a tributação deve ser julgada apenas por seus efeitos. Seus principais efeitos são dois: o contribuinte fica com menos dinheiro para gastar e o governo fica com mais dinheiro. O segundo efeito pode ser obtido de forma muito mais fácil imprimindo o dinheiro, de modo que apenas o primeiro efeito é significativo. A tributação deve, portanto, ser imposta apenas quando for desejável que os contribuintes tenham menos dinheiro para gastar, por exemplo, quando de outra forma gastariam o suficiente para provocar inflação.

A segunda lei das Finanças Funcionais é que o governo deve tomar dinheiro emprestado apenas se for desejável que o público tenha menos dinheiro e mais títulos do governo, pois estes são os efeitos do endividamento governamental. Isso pode ser desejável se, de outra forma, a taxa de juros fosse reduzida para um nível muito baixo (por tentativas dos detentores de dinheiro em caixa de emprestá-lo) e induzisse investimento demais, provocando assim inflação. Inversamente, o governo deve emprestar dinheiro (ou pagar parte de sua dívida) apenas se for desejável aumentar a moeda ou reduzir a quantidade de títulos do governo nas mãos do público. Quando a tributação, os gastos, os empréstimos e os empréstimos a terceiros (ou o reembolso de empréstimos) são regidos pelos princípios das Finanças Funcionais, qualquer excesso de desembolsos em dinheiro sobre as receitas em dinheiro, se não puder ser coberto por meio de estoques de dinheiro (entesouramento), deve ser coberto pela impressão de novo dinheiro, e qualquer excesso de receitas sobre os desembolsos pode ser destruído ou usado para reabastecer os estoques.

A quase instintiva repulsa que temos à ideia de imprimir dinheiro, e a tendência a identificá-la com a inflação, podem ser superadas se nos acalmarmos e observarmos que essa impressão não afeta a quantidade de dinheiro gasta. Isso é regulado pela primeira lei das Finanças Funcionais, que se refere especialmente à inflação e ao desemprego. A impressão de dinheiro ocorre apenas quando é necessária para implementar as Finanças Funcionais em gastos ou empréstimos (ou reembolso da dívida governamental).¹

¹ Tomar dinheiro emprestado dos bancos, sob condições que permitam aos bancos emitir novo dinheiro de crédito com base em suas participações adicionais em títulos do governo, deve ser considerado, para os nossos propósitos, como impressão de dinheiro. Na verdade, os bancos estão atuando como agentes do governo na emissão de dinheiro de crédito ou bancário.

Em suma, as Finanças Funcionais rejeitam completamente as doutrinas tradicionais das "finanças sólidas" e o princípio de tentar equilibrar o orçamento ao longo de um ano solar ou qualquer outro período arbitrário. Em seu lugar, prescreve: primeiro, o ajuste dos gastos totais (de todos na economia, incluindo o governo) a fim de eliminar tanto o desemprego quanto a inflação, usando os gastos do governo quando os gastos totais forem muito baixos e a tributação quando os gastos totais forem muito altos; segundo, o ajuste das participações públicas em dinheiro e em títulos do governo, por meio de empréstimos governamentais ou reembolso da dívida, a fim de alcançar a taxa de juros que resulta no nível mais desejável de investimento; e, terceiro, a impressão, o entesouramento ou a destruição de dinheiro conforme necessário para a execução das duas primeiras partes do programa.

II

Ao julgar a formulação dos economistas sobre este assunto, é difícil distinguir entre a tática de suavizar as afirmações mais chocantes das Finanças Funcionais e a clareza insuficiente por parte daqueles que não percebem plenamente os extremos que estão implícitos em suas formulações relativamente ortodoxas.

Primeiro houve os defensores da "escorva da bomba" (injeção inicial), cujo argumento era de que o governo apenas tinha que fazer as coisas engrenarem e então a economia poderia seguir por si só. Restam muito poucos defensores da "escorva da bomba" agora. Uma fórmula similar em alguns aspectos à escorva da bomba foi desenvolvida por economistas escandinavos em termos de uma série de orçamentos cíclicos, de capital e outros especiais, que deveriam ser equilibrados não anualmente, mas ao longo de períodos mais longos. Assim como a fórmula da escorva da bomba, ela falha porque não há razão para supor que a política de gastos e tributação que mantém o pleno emprego e previne a inflação deva necessariamente equilibrar o orçamento ao longo de uma década, tanto quanto ao longo de um ano ou no final de cada quinzena.

Assim que isso foi percebido — a falta de qualquer garantia de que a manutenção da prosperidade permitiria que o orçamento fosse equilibrado mesmo ao longo de períodos mais longos — teve-se que reconhecer que o resultado poderia ser uma dívida nacional continuamente crescente (se os gastos adicionais fossem providos pelo endividamento do governo e não pela impressão do excesso de seus gastos sobre suas receitas tributárias).

Neste ponto, duas coisas deveriam ter sido deixadas claras: primeiro, que essa possibilidade não apresentava nenhum perigo para a sociedade, não importando a que alturas inimagináveis a dívida nacional pudesse chegar, desde que as Finanças Funcionais mantivessem o nível adequado de demanda total pela produção corrente; e segundo (embora isto seja muito menos importante), que há uma tendência automática para que o orçamento seja equilibrado no longo prazo como resultado da aplicação das Finanças Funcionais, mesmo que não haja espaço para o princípio de equilibrar o orçamento. Não importa o quanto de juros tenha que ser pago sobre a dívida, a tributação não deve ser aplicada a menos que seja necessário para manter os gastos sob controle e prevenir a inflação. Os juros podem ser pagos tomando-se ainda mais emprestado.

Desde que o público esteja disposto a continuar emprestando ao governo, não há dificuldade, não importa quantos zeros sejam adicionados à dívida nacional. Se o público se tornar relutante em continuar emprestando, ele deve ou entesourar o dinheiro ou gastá-lo. Se o público entesoura, o governo pode imprimir o dinheiro para cumprir suas obrigações de juros e outras, e o único efeito é que o público detém moeda governamental em vez de títulos do governo, e o governo é poupado do trabalho de fazer pagamentos de juros. Se o público gasta, isso aumentará a taxa de gastos totais de modo que não será necessário que o governo tome emprestado para esse fim; e se a taxa de gastos se tornar muito grande, então é a hora de tributar para prevenir a inflação. As receitas podem então ser usadas para pagar juros e reembolsar a dívida governamental. Em todos os casos, as Finanças Funcionais fornecem uma resposta simples e quase automática.

Mas ou isso não foi visto claramente, ou foi considerado chocante ou lógico demais para ser dito ao público. Em vez disso, argumentou-se, por exemplo por Alvin Hansen, que desde que haja uma proporção razoável entre a renda nacional e a dívida, o pagamento de juros sobre a dívida nacional pode facilmente vir dos impostos pagos a partir do aumento da renda nacional criado pelo financiamento do déficit.

Essa "apaziguação" desnecessária abriu caminho para uma oposição extremamente eficaz às Finanças Funcionais. Mesmo homens que têm uma compreensão clara do mecanismo pelo qual os gastos do governo em tempos de depressão podem aumentar a renda nacional em várias vezes o valor despendido pelo governo, e que entendem perfeitamente bem que a dívida nacional, quando não é devida a outras nações, não é um fardo para a nação da mesma forma que a dívida de um indivíduo para com outros indivíduos é um fardo para o indivíduo, têm se posicionado fortemente contra os "gastos deficitários".²

Tem sido argumentado que "seria impossível conceber um programa mais adaptado ao minamento sistemático do sistema de livre iniciativa e à aceleração da catástrofe final do que os 'gastos deficitários'".³

Essas objeções baseiam-se no reconhecimento de que, embora cada dólar gasto pelo governo possa criar vários dólares de renda no curso do próximo ano ou dois, o efeito então desaparece. Daí se segue que, se a renda nacional deve ser mantida em um nível alto, o governo tem que manter sua contribuição para os gastos pelo tempo que os gastos privados forem insuficientes por si só para proporcionar o pleno emprego. Isso poderia significar uma continuação indefinida do apoio do governo aos gastos (embora não necessariamente a uma taxa crescente); e se, como a formulação de "apaziguação" sugere, todos esses gastos provêm de empréstimos, a dívida continuará crescendo até não estar mais em uma proporção "razoável" em relação à renda.

Isso leva ao cerne do argumento. Se os juros sobre a dívida devem ser levantados por meio de impostos (novamente uma suposição que não é desafiada pela formulação de "apaziguação"), eles com o tempo constituirão uma fração importante da renda nacional. O imposto de renda muito alto necessário para coletar essa quantia de dinheiro e pagá-la aos detentores de títulos do governo desencorajará o investimento privado arriscado, ao reduzir tanto o retorno líquido sobre ele que o investidor não é compensado pelo risco de perder seu capital. Isso tornará necessário que o governo empreenda ainda mais financiamento deficitário para manter o nível de renda e emprego. Uma tributação ainda mais pesada será então necessária para pagar os juros sobre a dívida crescente — até que o fardo da tributação seja tão esmagador que o investimento privado se torne não lucrativo, e a economia de livre iniciativa entre em colapso. Empresas e corporações privadas serão todas levadas à falência pelos impostos, e o governo terá que assumir toda a indústria.

Esse argumento não é novo. As mesmas calamidades idênticas, embora agora estejam recebendo muito mais atenção do que o habitual, foram prometidas quando a primeira lei de imposto de renda de um centavo por libra foi proposta. Tudo isso apenas torna mais importante avaliar a significância do argumento.

² Um excelente exemplo disso é o artigo persuasivo de John T. Flynn na Harper's Magazine de julho de 1942.

³ Flynn, ibid.

III

Há quatro erros principais no argumento contra os gastos deficitários, quatro razões pelas quais sua aparente conclusividade é apenas ilusória.

Em primeiro lugar, o mesmo imposto de renda elevado que reduz o retorno sobre o investimento é dedutível para a perda incorrida caso o investimento se revele um fracasso. Como resultado disso, o retorno líquido sobre o risco de perda não é afetado pela alíquota do imposto de renda, não importa quão alta ela seja. Considere um investidor na faixa de renda de US$ 50.000 anuais que acumulou US$ 10.000 para investir. A 6 por cento, isso renderia US$ 600, mas após pagar o imposto de renda sobre esse acréscimo à sua renda, a 60 centavos por dólar, ele sobraria com apenas US$ 240. Argumenta-se, portanto, que ele não investiria porque isso é uma compensação insuficiente para o risco de perder US$ 10.000. Esse argumento esquece que, se os US$ 10.000 forem totalmente perdidos, a perda líquida para o investidor, depois de deduzida sua franquia de imposto de renda, será de apenas US$ 4.000, e a taxa de retorno sobre o valor que ele realmente arrisca continua sendo exatamente 6 por cento; US$ 240 são 6 por cento de US$ 4.000. O efeito do imposto de renda é fazer com que o homem rico atue como uma espécie de agente trabalhando para a sociedade mediante comissão. Ele recebe apenas uma parte do retorno do investimento, mas perde apenas uma parte do dinheiro que é investido. Qualquer investimento que valesse a pena ser realizado na ausência do imposto de renda continua valendo a pena.

Naturalmente, essa correção do argumento é estritamente verdadeira apenas onde 100 por cento da perda é dedutível da renda tributável, onde o alívio tributário ocorre na mesma alíquota do imposto sobre os retornos. Há bons argumentos contra certas limitações à dedução permitida da base do imposto de renda para perdas incorridas, mas isso é outra história. Algo do argumento também permanece se a perda colocasse o contribuinte em uma faixa de imposto de renda mais baixa, onde o reembolso (e o imposto) ocorre a uma alíquota menor. Haveria, então, alguma redução no retorno líquido em comparação com a perda líquida potencial. Mas isso se aplicaria apenas a investimentos grandes o suficiente para ameaçar empobrecer o investidor caso fracassem. Foi com o propósito expresso de lidar com esse problema que a corporação foi concebida, tornando possível que muitos indivíduos se unissem e empreendessem atividades arriscadas sem que nenhuma pessoa tivesse que arriscar toda a sua fortuna em um único empreendimento. Mas, independentemente do investimento corporativo, esse problema seria resolvido quase inteiramente se a alíquota máxima do imposto de renda fosse atingida em um nível relativamente baixo, digamos, a US$ 25.000 por ano (baixo, isto é, do ponto de vista dos homens ricos que são a suposta fonte de capital de risco). Mesmo que toda a renda excedente a US$ 25.000 fosse tributada em 90 por cento, não haveria desestímulo ao investimento de qualquer parte da renda acima desse nível. É verdade que o retorno líquido, após o pagamento do imposto, seria apenas um décimo dos pagamentos nominais de juros, mas o valor arriscado pelo investidor também seria de apenas dez por cento do capital efetivamente investido e, portanto, o retorno líquido sobre o capital realmente arriscado pelo investidor permaneceria inalterado.

Em segundo lugar, esse argumento contra os gastos deficitários em tempos de depressão seria indefensável mesmo que o dano causado pela dívida fosse tão grande quanto se sugeriu. Deve-se lembrar que os gastos do governo aumentam a renda nacional real de bens e serviços em várias vezes o valor gasto pelo governo, e que o fardo não é medido pelo valor dos pagamentos de juros, mas apenas pelos inconvenientes envolvidos no processo de transferência do dinheiro dos contribuintes para os detentores de títulos. Portanto, opor-se aos gastos deficitários é como argumentar que, se lhe for oferecido um emprego quando estiver desempregado, com a condição de que você prometa pagar juros à sua esposa sobre uma parte do dinheiro ganho (ou que sua esposa os pague a você), seria mais sábio continuar desempregado, porque com o tempo você ficará devendo muito dinheiro à sua esposa (ou ela ficará devendo a você), e isso poderia causar dificuldades matrimoniais no futuro. Mesmo que os pagamentos de juros fossem realmente perdidos para a sociedade, em vez de serem meramente transferidos dentro dela, eles representariam muito menos do que a perda decorrente de permitir que o desemprego continuasse. Essa perda seria várias vezes maior do que o capital sobre o qual esses pagamentos de juros têm que ser feitos.

Em terceiro lugar, não há nenhuma boa razão para supor que o governo teria que arrecadar todos os juros sobre a dívida nacional por meio de impostos correntes. Vimos que as Finanças Funcionais permitem a tributação apenas quando o efeito direto do imposto é de interesse social, como quando previne gastos excessivos ou investimentos excessivos que provocariam inflação. Se os impostos impostos para prevenir a inflação não resultarem em receitas suficientes, os juros da dívida podem ser pagos tomando-se empréstimos ou imprimindo-se dinheiro. Não há risco de inflação com isso, porque, se houvesse tal risco, uma quantidade maior teria que ser arrecadada em impostos.

Isso significa que o tamanho absoluto da dívida nacional não importa nem um pouco, e que, por maiores que sejam os pagamentos de juros a serem feitos, estes não constituem nenhum fardo para a sociedade como um todo. Um exagero completamente fantástico pode ilustrar o ponto. Suponha que a dívida nacional atinja o total estupendo de dez mil bilhões de dólares (isto é, dez trilhões, US$ 10.000.000.000.000), de modo que os juros sobre ela sejam de 300 bilhões por ano. Suponha que a renda nacional real de bens e serviços que pode ser produzida pela economia em pleno emprego seja de 150 bilhões. Os juros sozinhos, portanto, chegam a duas vezes a renda nacional real. Não há dúvida de que uma dívida desse tamanho seria chamada de "irrazoável". Mas mesmo neste caso fantástico, o pagamento dos juros não constitui nenhum fardo para a sociedade. Embora a renda real seja de apenas 150 bilhões de dólares, a renda monetária é de 450 bilhões — 150 bilhões em renda proveniente da produção de bens e serviços e 300 bilhões em renda proveniente da propriedade dos títulos do governo que constituem a dívida nacional. Dessa renda monetária de 450 bilhões, 300 bilhões têm que ser arrecadados em impostos pelo governo para o pagamento de juros (se 10 trilhões for o limite legal da dívida), mas após o pagamento desses impostos restam 150 bilhões de dólares nas mãos dos contribuintes, e isso é suficiente para pagar por todos os bens e serviços que a economia pode produzir. Na verdade, não adiantaria nada o público ter mais dinheiro sobrando após os pagamentos de impostos, porque, se gastasse mais de 150 bilhões de dólares, estaria apenas elevando os preços dos bens comprados. Não seria capaz de obter mais bens para consumir do que o país é capaz de produzir.

Naturalmente, essa ilustração não deve ser interpretada como implicando que uma dívida desse tamanho tenha alguma probabilidade de ocorrer como resultado da aplicação das Finanças Funcionais. Como será mostrado abaixo, há uma tendência natural para que a dívida nacional pare de crescer muito antes de se aproximar das cifras astronômicas com as quais temos brincado.

A suposição infundada de que os juros correntes sobre a dívida devem ser arrecadados em impostos decorre da ideia de que a dívida deve ser mantida em uma proporção "razoável" ou "administrável" em relação à renda (seja lá o que isso for). Se essa restrição for aceita, o endividamento para pagar os juros é eliminado assim que o limite da "razoabilidade" é atingido e, se além disso descartarmos, como um pensamento indecente, a possibilidade de imprimir dinheiro, resta apenas a possibilidade de aumentar os pagamentos de juros por meio de impostos. Felizmente, não há necessidade de assumir essas limitações, desde que as Finanças Funcionais estejam em guarda contra a inflação, pois é o medo da inflação a única base racional para a suspeita em relação à impressão de dinheiro.

Finalmente, não há razão para supor que, como resultado da aplicação contínua das Finanças Funcionais para manter o pleno emprego, o governo deva estar sempre tomando mais dinheiro emprestado e aumentando a dívida nacional. Há várias razões para isso.

Em primeiro lugar, o pleno emprego pode ser mantido imprimindo-se o dinheiro necessário para isso, e isso não aumenta a dívida nem um pouco. É provável, no entanto, que seja aconselhável permitir que a dívida e o dinheiro aumentem juntos em um certo equilíbrio, desde que um ou outro tenha que aumentar.

Em segundo lugar, como um dos maiores desestímulos ao investimento privado é o medo de que a depressão venha antes que o investimento tenha se pago, a garantia de pleno emprego permanente tornará o investimento privado muito mais atraente, uma vez que os investidores tenham superado suas suspeitas em relação ao novo procedimento. O maior investimento privado diminuirá a necessidade de gastos deficitários.

Em terceiro lugar, à medida que a dívida nacional aumenta, e com ela a soma da riqueza privada, haverá um rendimento cada vez maior proveniente de impostos sobre rendas mais altas e heranças, mesmo que as alíquotas de impostos permaneçam inalteradas. Esses pagamentos de impostos mais altos não representam reduções de gastos por parte dos contribuintes. Portanto, o governo não precisa usar essas receitas para manter a taxa necessária de gastos, podendo destiná-las ao pagamento dos juros da dívida nacional.

Em quarto lugar, à medida que a dívida nacional aumenta, ela atua como uma força autoequilibradora, diminuindo gradualmente a necessidade adicional de seu crescimento e finalmente atingindo um nível de equilíbrio onde sua tendência a crescer chega completamente ao fim. Quanto maior a dívida nacional, maior é a quantidade de riqueza privada. A razão para isso é simplesmente que, para cada dólar de dívida devidos pelo governo, há um credor privado que possui as obrigações do governo (possivelmente por meio de uma corporação na qual ele tenha ações) e que considera essas obrigações como parte de sua fortuna privada. Quanto maiores as fortunas privadas, menor é o incentivo para aumentá-las por meio da poupança da renda corrente. Como a poupança corrente é assim desestimulada pela grande acumulação de poupanças passadas, os gastos com a renda corrente aumentam (já que gastar é a única alternativa para poupar a renda). Esse aumento nos gastos privados torna menos necessário que o governo recorra ao financiamento deficitário para manter os gastos totais no nível que proporciona o pleno emprego. Quando a dívida do governo se torna tão grande que os gastos privados são suficientes para proporcionar os gastos totais necessários para o pleno emprego, não há necessidade de nenhum financiamento deficitário por parte do governo, o orçamento fica equilibrado e a dívida nacional automaticamente para de crescer. O tamanho desse nível de equilíbrio da dívida depende de muitas coisas. Só pode ser estimado, e da maneira mais grosseira possível. Meu palpite é que esteja entre 100 e 300 bilhões de dólares. Como o nível é um resultado e não um princípio das Finanças Funcionais, a margem de tal palpite não importa; não é necessária para a aplicação das leis das Finanças Funcionais.

Em quinto lugar, se por qualquer razão o governo não desejar ver a propriedade privada crescer demais (seja na forma de títulos do governo ou de outra forma), pode conter isso tributando os ricos em vez de tomar emprestado deles, em seu programa de financiamento dos gastos do governo para manter o pleno emprego. Os ricos não reduzirão significativamente seus gastos e, assim, os efeitos sobre a economia, além da dívida menor, serão os mesmos que se o dinheiro tivesse sido tomado emprestado deles. Por esse meio, a dívida pode ser reduzida para qualquer nível desejado e lá mantida.

As respostas ao argumento contra os gastos deficitários podem, assim, ser resumidas da seguinte forma:

A dívida nacional não precisa continuar aumentando;

Mesmo que a dívida nacional cresça, os juros sobre ela não precisam ser arrecadados por meio de impostos correntes;

Mesmo que os juros da dívida sejam arrecadados por meio de impostos correntes, esses impostos constituem apenas os juros sobre apenas uma fração do benefício desfrutado com os gastos do governo, e não são perdidos para a nação, mas meramente transferidos dos contribuintes para os detentores de títulos;

Os altos impostos de renda não precisam desestimular o investimento, porque deduções apropriadas para perdas podem diminuir o capital realmente arriscado pelo investidor na mesma proporção em que sua renda líquida do investimento é reduzida.

IV

Se as proposições das Finanças Funcionais fossem apresentadas sem o medo de parecerem lógicas demais, críticas como as discutidas acima não seriam tão populares quanto são agora, e não seria necessário defender as Finanças Funcionais de seus próprios amigos. Uma tarefa especialmente embaraçosa surge da alegação de que as Finanças Funcionais (ou financiamento do déficit, como é frequente, mas insatisfatoriamente, chamado) são principalmente uma defesa da livre iniciativa. Na tentativa de ganhar popularidade para as Finanças Funcionais, elas têm recebido outros nomes e sido declaradas como essencialmente direcionadas a salvar a livre iniciativa.

Eu mesmo pequei de maneira semelhante em escritos anteriores ao identificá-la com a democracia,⁴ unindo-me assim ao exército de vendedores que embrulham suas mercadorias na bandeira e amarram qualquer coisa que tenham a vender à vitória ou ao moral.

As Finanças Funcionais não estão especialmente relacionadas à democracia ou à livre iniciativa. Elas são aplicáveis a uma sociedade comunista tão bem quanto a uma sociedade fascista ou a uma sociedade democrática. São aplicáveis a qualquer sociedade na qual o dinheiro seja usado como um elemento importante no mecanismo econômico. Consistem no simples princípio de abandonar nossas preconcepções sobre o que é apropriado, sólido ou tradicional, sobre o que "é feito", e em vez disso considerar as funções desempenhadas na economia pela tributação, pelos gastos, pelos empréstimos e pelos empréstimos concedidos pelo governo. Significa usar esses instrumentos simplesmente como instrumentos, e não como amuletos mágicos que causarão danos misteriosos se forem manipulados pelas pessoas erradas ou sem a devida reverência à tradição. Como qualquer outro mecanismo, as Finanças Funcionais funcionarão não importa quem puxe as alavancas. Sua relação com a democracia e a livre iniciativa consiste simplesmente no fato de que, se as pessoas que acreditam nessas coisas não usarem as Finanças Funcionais, elas não terão chance a longo prazo contra outros que o farão.

⁴ Em "Total Democracy and Full Employment" (Democracia Total e Pleno Emprego), Social Change (maio de 1941).

Economia Clássica Moderna

Sumário

1 Economia Clássica Antiga e Moderna

    1.1 Introdução

    1.2 Economia Clássica

    1.3 Representação por Variáveis de Estado e Teoria do Capital

    1.4 Considerações Finais

2 Teoria Clássica Moderna de Preços e Produtos

    2.1 Introdução

    2.2 Preliminares

        2.2.1 O Sistema de Preços de Produção Estacionários

        2.2.2 Um Sistema Dinâmico

        2.2.3 Taxas de Lucro Diferenciais, Capital Fixo e Produção Conjunta

        2.2.4 Economia Aberta

    2.3 Limites Normativos

        2.3.1 Limites para a Curva Salário-Taxa de Lucro Relativa

        2.3.2 Limites para as Curvas Preço-Taxa de Lucro Relativa

    2.4 Efeitos sobre os Preços Relativos

        2.4.1 Efeitos de Preços das Mudanças na Distribuição de Renda

        2.4.2 Efeitos de Preços da Mudança na Produtividade Total

    2.5 Considerações Finais

    Apêndice: A Abordagem Böhm-Bawerkiana

3 Valores, Preços e Distribuição de Renda em Economias Reais

    3.1 Introdução

    3.2 Um Exemplo Numérico da Tabela de Insumo-Produto dos EUA

        3.2.1 Valores-Trabalho e Preços Diretos

        3.2.2 Preços Atuais e Taxas de Lucro

        3.2.3 Curvas Salário-Preço de Produção-Taxa de Lucro

    3.3 Estimativas de Preços para Várias Economias Reais

        3.3.1 Grécia

        3.3.2 Japão

        3.3.3 Canadá, China, Coreia, Reino Unido e EUA

    3.4 A Aproximação Polinomial de Steedman

    3.5 Comparações de Preços Intertemporais

    3.6 Diferenças entre Preços de Produção e Preços Diretos e Diferenças de Intensidade de Capital

    3.7 Ilustração Empírica dos Limites para os Preços de Produção

    3.8 A Monotonicidade das Curvas Preço de Produção-Taxa de Lucro

        3.8.1 China

        3.8.2 Grécia

        3.8.3 Japão

        3.8.4 Finlândia

    3.9 Ilustração Empírica da Curva Salário-Taxa de Lucro

    3.10 Considerações Finais

    Apêndice 1: Fontes de Dados e Construção de Variáveis

    Apêndice 2: Uma Nota sobre as Tabelas de Oferta e Utilização

4 Medidas de Desvio entre Preço de Produção e Valor-Trabalho e Condições de Produção

    4.1 Introdução

    4.2 Análise Teórica de uma Economia de Dois Setores

    4.3 Generalização

    4.4 Ilustração Empírica

    4.5 Considerações Finais

    Apêndice: Medidas Livres de Numéraire

5 Decomposições Espectrais de Economias de Produto Único

    5.1 Introdução

    5.2 Decomposições Espectrais

        5.2.1 Numéraire Arbitrário

        5.2.2 Mercadoria-Padrão de Sraffa

    5.3 Evidência Empírica

        5.3.1 Distribuições de Autovalores e Valores Singulares

        5.3.2 Aproximações da Taxa de Lucro-Preço-Salário

        5.3.3 Efeitos de Preços Relativos da Mudança na Produtividade Total

        5.3.4 Auto-desvio dos Preços Commandados pelo Trabalho em relação aos Valores-Trabalho

    5.4 Considerações Finais

6 Estabilidade e Perturbações de Bródy

    6.1 Introdução

    6.2 A Conjectura de Bródy: Fatos e Números da Economia dos EUA

    6.3 Procedimentos Iterativos Marxianos

    6.4 Flutuações Agregadas a partir de Choques Setoriais

    6.5 Considerações Finais

    Apêndice 1: Sobre o Multiplicador Sraffiano

    Apêndice 2: Efeitos de Preços da Desvalorização Cambial

1.1 Introdução

O termo "economia política clássica" foi cunhado originalmente por Karl Marx para caracterizar todos os economistas que começam com William Petty, na Inglaterra, e Pierre Le Pesant de Boisguilbert, na França, e terminam com Ricardo, na Inglaterra, e Simonde de Sismondi, na França. Segundo Marx, o foco dos economistas clássicos era a determinação do excedente (valor), definido como a diferença entre o valor da produção total e o valor dos insumos (de trabalho e não trabalho) utilizados na produção.

O principal problema com o qual a teoria clássica do valor e da distribuição se deparou foi a relação entre a criação do excedente e o funcionamento do sistema de preços das mercadorias, que permite o surgimento do excedente sob a forma de lucro, renda, juros e impostos, ao passo que o salário real, ou seja, a cesta de mercadorias que os trabalhadores normalmente adquirem, aparece sob a forma de salário monetário.Na abordagem clássica, o excedente é definido como a diferença entre as mercadorias produzidas e aquelas que são necessárias para a reprodução da sociedade. Formalmente falando, o excedente é igual ao vetor do produto bruto menos o vetor dos insumos intermediários e dos salários reais. Essa diferença é chamada de excedente porque é uma quantidade determinada residualmente e, portanto, pode ser consumida ou investida. Se todo o excedente for consumido, a sociedade estará em seu estado estacionário ou de reprodução simples, o que, no entanto, só pode ser concebido como um caso teórico interessante, e não como uma possibilidade realista, uma vez que o capitalismo é, por sua própria natureza, um sistema inerentemente propenso ao crescimento. Quanto mais o excedente for destinado ao investimento líquido, maior será o crescimento da economia; e se todo o excedente for investido, a economia se expandirá à sua taxa máxima de crescimento ou, em termos de reprodução, a economia atingirá sua reprodução ampliada máxima.

Com esse contexto em mente, quando investigamos a quantificação do excedente, percebemos que não estamos lidando com uma quantidade homogênea, mas sim com um vetor de mercadorias heterogêneas a partir do qual não podemos nos referir às suas formas específicas. Uma saída que foi tentada por David Ricardo (1815) é teorizar a produção como ocorrendo em um único setor, onde a mesma mercadoria serve simultaneamente como insumo e produto produzido. O milho, por exemplo, poderia ser tal mercadoria, e a taxa de lucro do setor do milho seria igual à razão entre o excedente de milho e os insumos de milho (semente de milho e salários reais dos trabalhadores). Além disso, a concorrência garantiria que a taxa de lucro se equalizasse nos demais setores da economia. Assim, dada a taxa de lucro uniforme da economia e a taxa de salário real, poderíamos, em princípio pelo menos, determinar os preços reais das mercadorias. A segunda saída é expressar tanto os insumos quanto os produtos em termos de tempo de trabalho ("teoria pura do valor-trabalho"). No entanto, por mais simples que seja essa alternativa, havia uma série de problemas para os quais os economistas clássicos não chegaram a nenhuma solução satisfatória (particularmente para aqueles problemas relacionados à interação entre as parcelas da renda e os preços das mercadorias). A terceira forma é expressar a produção de mercadorias como um sistema de n equações com n preços de mercadorias (sempre assumindo indústrias de produto único). O problema desse tratamento é a determinação das variáveis distributivas, o que já não é trivial ao se assumir apenas duas classes sociais, ou seja, capitalistas e trabalhadores. Embora os antigos economistas clássicos estivessem alinhados a esse tratamento, eles não conseguiram chegar a uma solução completa porque muitos dos preliminares matemáticos necessários ainda não haviam sido descobertos (por exemplo, os teoremas de Perron-Frobenius para matrizes semipositivas).

A premissa de que a livre concorrência tenderá a equalizar as taxas de lucro intersetoriais à taxa geral da economia é de suma importância para a análise clássica. O mecanismo para essa equalização tendencial é a aceleração ou desaceleração da acumulação de capital. Por exemplo, se uma indústria obtém uma taxa de lucro acima da geral da economia, a acumulação de capital nesse setor se acelera e a expansão de sua produção reduz o preço ao nível que confere a taxa de lucro geral. O inverso é verdadeiro para as indústrias que obtêm uma taxa de lucro menor. Nesse caso, a desaceleração da acumulação e a redução da produção elevam o preço do produto a um nível em que ele incorpora a taxa de lucro geral. Essa posição em direção à qual o sistema econômico gravita, na qual os preços, os produtos e a taxa de lucro estão em seus níveis normais, é chamada de equilíbrio de longo período, e a análise de tais posições é chamada de método de longo período. Deve-se ressaltar, de início, que o termo "longo período" refere-se ao tempo analítico, que é necessário até que o sistema atinja sua posição normal.

Este capítulo introdutório serve para delineiar as relações centrais entre as teorias clássica, neoclássica tradicional e clássica moderna do valor, da distribuição e do capital.¹ Com base tanto na teoria mais recente quanto na representação moderna de variáveis de estado de sistemas lineares, ele também define a premissa básica do presente livro.

¹ Para uma discussão na história do pensamento econômico sobre as estruturas das abordagens clássica e neoclássica, veja Tsoulfidis (2010, Caps. 6 e 7, 2011).

O restante do capítulo está estruturado da seguinte forma. A Seção 1.2 expõe as relações entre as referidas teorias e aponta a fonte das dificuldades conceituais e analíticas para as teorias tradicionais. A Seção 1.3 esboça a importância da representação por variáveis de estado de sistemas lineares de produção para a teoria do capital. Finalmente, a Seção 1.4 conclui.

1.2 Economia Clássica

Embora nenhum dos antigos economistas clássicos tenha especificado o "núcleo" de sua teoria de forma explícita, pode-se teorizar, tanto em bases lógicas quanto textuais, que as contribuições clássicas para a teoria do valor e da distribuição compartilham um conjunto comum de variáveis determinadas exogenamente. Este conjunto inclui apenas quantidades observáveis e mensuráveis (ou calculáveis) e diz respeito (Kurz e Salvadori 1998, p. 8)²:

² Considere também Pasinetti (1959–1960, 1981), Eatwell (1983), Garegnani (1984) e Steedman (1979a, Caps. 1–3, 1998).

(i) O conjunto de alternativas técnicas a partir das quais os produtores minimizadores de custos podem escolher

(ii) O tamanho e a composição do produto social, refletindo as necessidades e desejos dos membros das diferentes classes da sociedade e os requisitos de reprodução e acumulação de capital

(iii) A(s) taxa(s) de salário real vigente(s)

(iv) As quantidades de diferentes qualidades de terra disponíveis e os estoques conhecidos de recursos esgotáveis (como depósitos minerais)

As referidas variáveis independentes são suficientes para determinar completamente as incógnitas ou variáveis dependentes do sistema, ou seja, a taxa de lucro, as taxas de renda da terra e os preços relativos das mercadorias de longo período (ou preços de (re-)produção).

Os economistas clássicos tinham tudo o acima exposto implícito em suas análises, mesmo que não tivessem uma visão única. Por exemplo, a teoria do valor de Ricardo não era a mesma que a de Marx, enquanto também havia os economistas pró-trabalho (por exemplo, Robert Owen, William Thompson e Thomas Hodgskin), que — inspirados pela teoria ricardiana do valor-trabalho — afirmavam que todo o excedente deveria pertencer aos trabalhadores, pois são eles os criadores do excedente; segue-se, portanto, que o lucro do capitalista e a renda do proprietário de terras são deduções diretas do valor das mercadorias. Em suma, o valor de uma mercadoria deve ser igual ao trabalho que entrou em sua produção, o que equivale a dizer que nem os lucros nem as rendas são rendas justificadas em termos morais. O valor das mercadorias é criado apenas pelo trabalho e, portanto, todo o valor de uma mercadoria deveria pertencer aos trabalhadores. Essa variante bastante normativa da teoria do valor-trabalho deu origem a um movimento anticapitalista. Um problema dessa natureza, que se desenvolveu no âmbito da teoria do valor-trabalho, juntamente com a incapacidade dos proponentes dos antigos economistas clássicos de fornecer respostas satisfatórias a certas questões espinhosas (ou seja, o papel da demanda, a quantidade de capital empregado, etc.), levou à "desintegração da escola ricardiana" e, com ela, do pensamento clássico.

Gradualmente, muitos economistas descartaram a ideia de preço determinado por "forças" de mercado sistemáticas e, portanto, persistentes, e, em vez disso, aderiram à ideia de que os preços das mercadorias são determinados pelas forças efêmeras da oferta e da demanda, ou seja, pela concorrência. Marx caracterizou essa abordagem como "vulgar" simplesmente porque atribuía a determinação dos preços de mercado à mera operação da concorrência e não a algo mais fundamental "por trás" das forças de demanda e oferta que pudesse estabelecer uma relação causal.

Com esse contexto, não chega a ser surpresa que um número crescente de economistas tenha começado a se afastar do pensamento clássico, embora não de muitas das ideias clássicas, e até mesmo a teoria do valor-trabalho tenha permanecido por algum tempo (especialmente entre os economistas britânicos). O que estava realmente em jogo era a causalidade, que, para os antigos economistas clássicos, ia da determinação do custo por meio da quantidade de tempo de trabalho até os preços de equilíbrio, ao passo que, para os economistas neoclássicos, a "seta da causalidade" parte da demanda, que é determinada pela "utilidade" (cardinal ou ordinal). A oferta (ou custo de produção), por outro lado, era determinada pela utilidade negativa ou desutilidade e, ao fazer isso, os economistas neoclássicos conseguiram expressar a oferta em termos de uma unidade de medida comum. Por exemplo, o salário é a compensação pela desutilidade que os trabalhadores sofrem ao oferecer parte de sua dotação de serviços de trabalho. Da mesma forma, os lucros e as rendas são as compensações pela desutilidade que os proprietários de capital e terra, respectivamente, sofrem ao contribuir com suas dotações para a produção de bens e (outros) serviços. Tendo expressado a oferta como desutilidade, os economistas neoclássicos puderam juntar demanda e oferta para a determinação simultânea do preço e da quantidade de equilíbrio. Para a determinação desse equilíbrio, os indivíduos se comportam racionalmente, ou seja, exibem um comportamento otimizador. Não há dúvida de que este é um problema de otimização, onde o ganho total é maximizado uma vez que o benefício marginal (utilidade) é igual ao sacrifício marginal (desutilidade) (ver também Eatwell 1983; Kurz e Salvadori 2015). É interessante notar que, nesta nova teoria "neoclássica ou marginalista", o individualismo somado ao subjetivismo é a principal característica tanto das decisões de demanda quanto de oferta. Nesse sentido, a teoria neoclássica, por se referir ao longo período e reconhecer forças sistemáticas que estão por baixo das curvas de demanda e oferta, não pode ser caracterizada como vulgar.

Claramente, a diferença substancial entre a antiga teoria clássica e a nova teoria não foi totalmente compreendida nem mesmo pelos principais proponentes da "revolução marginalista" da década de 1870 (considere também Milgate e Stimson 2011, Cap. 13).

Por exemplo, Léon Walras ([1874–1877] 1954) afirmou que o sistema clássico é, no melhor dos casos, subdeterminado:

Devemos agora discutir a teoria [inglesa, ou seja, clássica] matematicamente para mostrar quão ilusória ela é. Seja P o preço agregado recebido pelos produtos de uma empresa; sejam S, I e F, respectivamente, os salários, os encargos de juros e a renda desembolsados pelos empreendedores, no curso da produção, para pagar os serviços das faculdades pessoais, do capital e da terra.

Lembremo-nos agora de que, de acordo com a Escola Inglesa, o preço de venda dos produtos é determinado pelos seus custos de produção, ou seja, é igual ao custo dos serviços produtivos empregados. Assim, temos a equação P = S + I + F, e P está determinado para nós. Resta apenas determinar S, I e F. Certamente, se não é o preço dos produtos que determina o preço dos serviços produtivos, mas o preço dos serviços produtivos que determina o preço dos produtos, devemos ser informados sobre o que determina o preço dos serviços. É precisamente isso que os economistas ingleses tentam fazer. Para esse fim, eles constroem uma teoria da renda de acordo com a qual a renda não está incluída nas despesas de produção, mudando assim a equação acima para P = S + I.

Tendo feito isso, eles determinam S diretamente pela teoria dos salários. Então, finalmente, eles nos dizem que "a quantia de juros ou lucro é o excesso do preço agregado recebido pelos produtos sobre os salários desembolsados em sua produção", em outras palavras, que é determinada pela equação I = P - S.

Está claro agora que os economistas ingleses estão completamente perplexos com o problema da determinação do preço; pois é impossível que I determine P ao mesmo tempo em que P determina I. Na linguagem da matemática, uma equação não pode ser usada para determinar duas incógnitas. Esta objeção é levantada sem qualquer referência à nossa posição sobre a maneira pela qual a Escola Inglesa elimina a renda antes de se propor a determinar os salários.³ (pp. 424–425)

³ Como Kurz (2014, p. 11) observa, "o mesmo tipo de crítica pode ser encontrado também nos tempos mais recentes" (e refere, como exemplo, dois artigos de Kenneth J. Arrow, publicados em 1972 e 1991).

Esta objeção crucial fornece o ponto de partida para a construção de um sistema de determinação bastante diferente, conhecido como o sistema neoclássico (tradicional), no qual as variáveis determinadas exogenamente são (Kurz e Salvadori 1998, p. 10):

(i) O conjunto de alternativas técnicas a partir das quais os produtores minimizadores de custos podem escolher

(ii) As preferências dos consumidores (que não são diretamente observáveis)

(iii) As dotações iniciais da economia com todos os "fatores de produção", incluindo o "capital", e a distribuição dos direitos de propriedade entre os agentes individuais

Dentro desse sistema, tanto os preços quanto as variáveis distributivas são explicados simultânea e simetricamente em termos de demanda e oferta de "bens" e serviços dos "fatores de produção", respectivamente e, assim, refletem as "escassezes relativas" desses "bens e fatores".

Quase três décadas depois, Vladimir K. Dmitriev (1898), "uma figura romântica e sombria, que fundou a economia matemática russa" (Samuelson 1975, p. 491), começou explicitamente com a objeção de Walras e então demonstrou que, em sistemas de produção lineares fechados envolvendo apenas produtos únicos, capital circulante e duas variáveis distributivas, ou seja, as taxas de salário e de lucro, o conjunto de dados clássico (ou, mais precisamente, ricardiano) é suficiente para uma determinação simultânea da taxa de lucro e dos preços relativos das mercadorias (ver também Kurz e Salvadori (2002)). Em particular, ele mostrou que:

(i) A relação entre a taxa de salário monetário e a taxa de lucro é estritamente decrescente, independentemente do numerário escolhido.

(ii) A taxa de lucro é determinada pela taxa de salário real e pelas condições técnicas de produção nas indústrias que produzem mercadorias-salário e meios de produção usados, direta ou indiretamente, na produção de mercadorias-salário. De acordo com Dmitriev (1898):

Dificilmente alguém contestará que o único processo que determina o nível do lucro no momento presente é o processo [de insumo de fluxo - ponto de produto] de produção dos meios de subsistência dos trabalhadores (capitale alimento [Achille Loria]). [...] [A] investigação das condições que afetam o nível [da taxa de salário real] está fora do escopo (e da competência) da economia política e dentro de outras disciplinas [...] [A] economia política deve tomar [a taxa de salário real] como dada em sua análise.⁴ (pp. 73–74)

⁴ Para críticas a esta afirmação, e à forma de fechar o sistema, ver, por exemplo, Samuelson (1975, p. 493) e Fan (1983).

(iii) A taxa de lucro é positiva se, e somente se, o mais-valor (ou o trabalho excedente) for positivo ou, equivalentemente, se, e somente se, os requisitos totais de insumos da mercadoria i (i = 1, 2, ..., n) necessários para produzir 1 unidade de produto bruto da mercadoria i forem menores que 1.

(iv) Os preços podem ser reduzidos a quantidades físicas de trabalho, ponderadas pela taxa de lucro composta apropriada às suas datas conceituais de aplicação. Logo, os preços relativos são independentes das condições de demanda.

(v) Os preços são proporcionais aos valores-trabalho apenas quando a taxa de lucro é zero ou quando a "composição de valor do capital" (Marx) é uniforme em todas as indústrias (retornaremos a todas essas questões no Cap. 2).

(vi) O sistema neoclássico é, na verdade, baseado na extensão do "princípio da escassez", que Ricardo (e outros economistas clássicos) haviam limitado apenas aos recursos naturais, para todos os "bens e fatores de produção" (considere também Mühlpfordt 1895, pp. 92–93 e 98–99).

Assim, Dmitriev (1898) finalmente concluiu que

Dirigir à teoria de Ricardo a reprovação batida de que ela "define o preço em termos de preço" é manifestar uma completa falta de compreensão dos escritos deste teórico econômico muito grandioso. (p. 61)

A economia clássica moderna é fundada sobre a obra de Piero Sraffa. Como Garegnani (1998) enfatiza:

A importância do trabalho de [Sraffa] para a teoria econômica de hoje parece repousar essencialmente nos seguintes três elementos: (1) sua redescoberta da abordagem teórica característica dos economistas clássicos; (2) sua solução de algumas dificuldades analíticas chave que não foram resolvidas por Ricardo e Marx; (3) sua crítica à teoria marginal. (p. 395)

As proposições da economia clássica moderna que são particularmente importantes para o presente livro podem ser resumidas da seguinte forma⁵:

⁵ Ver Bhaduri (1966), Pasinetti (1966), Garegnani (1970), Steedman (1979a, b), Kurz e Salvadori (1995) e as referências therein. No sistema da economia clássica moderna, a(s) taxa(s) de salário real não é necessariamente uma variável dada exogenamente. Esse sistema determina relações entre, por um lado, variáveis distributivas e preços de mercadorias e, por outro lado, crescimento, produtos físicos e alocações de trabalho. Assim, existem formas alternativas de fechá-lo (considere, por exemplo, a "teoria monetária da distribuição", ou seja, a possível determinação da taxa de lucro pela taxa de juros monetária; Sraffa 1960, p. 33, Panico 1988, Pivetti 1991).

(i) Dada a taxa de salário real, os preços relativos das mercadorias dependem da taxa de lucro, e a taxa de lucro depende dos preços relativos das mercadorias. Consequentemente, "a distribuição do excedente deve ser determinada através do mesmo mecanismo e ao mesmo tempo que os preços das mercadorias" (Sraffa 1960, p. 6).

(ii) Mesmo com métodos de produção inalterados, mudanças na distribuição de renda ativam efeitos de retroalimentação de preços, o que implica que as direções dos movimentos de preços relativos são governadas não apenas pelas diferenças nas intensidades de capital relevantes, mas também pelos movimentos das intensidades de capital relevantes. Assim, a direção dos movimentos de preços relativos não pode ser conhecida a priori.

(iii) A "intensidade de capital" das técnicas de produção não precisa diminuir (aumentar) à medida que a taxa de lucro (salário) sobe.

(iv) As referidas proposições implicam que as tentativas da escola neoclássica tradicional ou austríaca de partir de uma dada "quantidade de capital" ou de um "período médio de produção" para determinar a taxa de lucro ou de juros são mal fundamentadas. Elas também minam a análise neoclássica de demanda e oferta por "capital" e trabalho e, assim, a explicação das variáveis distributivas como os preços dos serviços dos "fatores de produção" que refletem suas "escassezes". Com efeito, todas as afirmações e relações derivadas de uma função de produção agregada ou de uma estrutura de período médio de produção não podem, em geral, ser estendidas para além de um mundo onde (a) não há meios de produção produzidos; ou (b) há meios de produção produzidos, enquanto a taxa de lucro sobre o valor desses meios de produção é zero (ver também Samuelson 1953–1954, pp. 17–19); ou, finalmente, (c) essa taxa de lucro é positiva, enquanto a economia produz uma e apenas uma mercadoria, simples ou composta (ver também Steedman 1994). Naquele mundo, também existem afirmações clássicas e marxianas tradicionais que são necessariamente válidas. Burmeister (1975) observou:

Não há dúvida de que a economia seria uma disciplina mais fácil se Deus tivesse imposto a restrição de "composição de capital [de valor] orgânica igual" ao mundo, uma restrição tecnológica da natureza tão imutável quanto as leis da física. (p. 456)

Pode-se, portanto, concluir que as dificuldades conceituais e analíticas das teorias tradicionais do valor e da distribuição surgem da existência de complexas ligações intersetoriais no caso realista de produção de mercadorias e lucros positivos por meio de mercadorias.