Blog Grundrisse: Modelo de Gerações Sobrepostas

CAMPANTE, Filipe; STURZENEGGER, Federico; VELASCO, Andrés. Overlapping generations models. In: CAMPANTE, Filipe; STURZENEGGER, Federico; VELASCO, Andrés. Advanced Macroeconomics: An Easy Guide. London: LSE Press, 2021. cap. 8, p. 115–132. DOI: https://doi.org/10.31389/lsepress.ame.

SUMÁRIO

8. Modelos de Gerações Sobrepostas

8.1 | O modelo de Samuelson-Diamond

8.1.1 | O equilíbrio descentralizado

Indivíduos

Firmas

8.1.2 | Equilíbrio nos mercados de bens e fatores

8.1.3 | A dinâmica do estoque de capital

8.1.4 | Um exemplo operacional

Os efeitos de um choque

8.2 | Otimalidade

8.2.1 | O produto marginal do capital no estado estacionário

8.2.2 | Por que existe ineficiência dinâmica?

8.2.3 | As economias reais são dinamicamente ineficientes?

8.2.4 | Por que isso é importante?

8.3 | Gerações sobrepostas em tempo contínuo

8.3.1 | A economia fechada

8.3.2 | Uma extensão simples

8.3.3 | Revisitando a conta corrente na economia aberta

8.4 | O que aprendemos?

8. Modelo

O modelo de crescimento neoclássico (NGM), com seus indivíduos idênticos e de vida infinita, é muito útil para analisar um grande número de tópicos em macroeconomia, como vimos e continuaremos a ver no restante do livro. No entanto, existem algumas questões que exigem um distanciamento dessas premissas. Um exemplo óbvio envolve as questões relacionadas à compreensão da interação de indivíduos que estão em diferentes estágios de seus ciclos de vida. Se as vidas são finitas e não infinitas, como no NGM, os indivíduos não são iguais (ou, no mínimo, não estão no mesmo momento de suas vidas). Essa diversidade abre um conjunto totalmente novo de questões, como a do consumo e investimento ideais ao longo do ciclo de vida e o papel das heranças. Também exige uma redefinição de otimalidade. Não apenas porque precisamos abordar a questão de como avaliar o bem-estar quando os agentes têm funções de utilidade diferentes, mas também porque precisaremos verificar se as propriedades de otimalidade do NGM prevalecem. Por exemplo, se existem instrumentos precários para poupar, e ainda assim as pessoas precisam poupar para a aposentadoria, seria possível que as pessoas acumulassem capital em excesso?

Este arcabouço mais rico fornecerá novas perspectivas para avaliar decisões de políticas, como pensões e tributação, e para discutir o impacto de mudanças demográficas. É claro que a análise se torna mais matizada, mas a dificuldade adicional não é uma desculpa para não abordar a questão, particularmente porque, em muitos casos, o fato de os indivíduos serem diferentes é o aspecto fundamental que exige atenção.

Para estudar essas questões tão importantes, nos próximos três capítulos desenvolveremos o modelo de gerações sobrepostas (OLG), a segunda estrutura de trabalho fundamental da macroeconomia moderna. Veremos que, ao trazer algumas dessas nuances, as implicações do modelo revelam-se muito diferentes daquelas do NGM. Este arcabouço também nos permitirá abordar muitos dos debates de política mais relevantes da macroeconomia atual, incluindo taxas de juros baixas, estagnação secular e tópicos de política fiscal e monetária.

8.1 | O modelo de Samuelson-Diamond

O modelo de Samuelson-Diamond simplifica ao assumir duas gerações: jovens e idosos. Os jovens poupam para a aposentadoria, e isso constitui o estoque de capital no período seguinte. A dinâmica do capital será resumida por uma equação de poupança da forma s(w,r). Esta equação de poupança nos permitirá rastrear a evolução do capital ao longo do tempo.

s = poupança (savings) realizada pelos indivíduos durante o primeiro período de suas vidas (quando são jovens) para financiar o consumo na velhice;

w = salário real (wage) recebido pelo indivíduo no primeiro período de sua vida pelo seu trabalho. A poupança é uma função crescente do salário, pois um aumento na renda do trabalho permite aumentar o consumo em ambos os períodos da vida;

r = taxa de juros (interest rate) ou taxa de aluguel do capital que o indivíduo receberá sobre suas economias no período seguinte (quando for idoso).

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Aqui apresentamos um modelo de tempo discreto inicialmente desenvolvido por Diamond (1965), baseando-se em trabalhos anteriores de Samuelson (1958), no qual os indivíduos vivem por dois períodos (jovens e idosos). A economia dura para sempre, à medida que novos jovens entram em cada período. Primeiro, caracterizamos o equilíbrio competitivo descentralizado do modelo. Em seguida, questionamos se a solução de mercado é a mesma que a alocação que seria escolhida por um planejador central, focando no significado da regra de ouro, o que nos permitirá discutir a possibilidade de ineficiência dinâmica (ou seja, acumulação excessiva de capital).

8.1.1 | O equilíbrio descentralizado

A economia de mercado é composta por indivíduos e firmas. Os indivíduos vivem por dois períodos. Eles trabalham para as firmas, recebendo um salário. Eles também emprestam sua poupança para as firmas, recebendo uma taxa de aluguel (pelo capital).

Um indivíduo nascido no tempo t consome c1t no período t e c2t+1 no período t+1, e deriva utilidade:

(Função de utilidade intertemporal de um indivíduo no modelo de Samuelson-Diamond)

c1t: nível de consumo do indivíduo no primeiro período de sua vida (enquanto jovem), ocorrido no tempo t;

c2t+1: nível de consumo do indivíduo no seu segundo período de vida (quando idoso ou aposentado), que ocorre no tempo t+1;

σ (sigma): elasticidade de substituição intertemporal no consumo, que indica a disposição do agente em trocar consumo entre os dois períodos da vida (σ ≥ 0)

ρ (rô): taxa de preferência temporal (ou taxa de desconto), que mede o quanto o indivíduo valoriza o consumo presente em relação ao futuro (ρ ≥ 0)

Observe que o subscrito “1” refere-se ao consumo quando jovem, e o “2” rotula o consumo quando idoso. Os indivíduos trabalham apenas no primeiro período da vida, ofertando inelasticamente uma unidade de trabalho e recebendo um salário real de wt. Eles consomem parte de sua renda do primeiro período e poupam o restante para financiar seu consumo de aposentadoria no segundo período. A poupança dos jovens no período t gera o estoque de capital que é usado para produzir o produto no período t+1 em combinação com o trabalho ofertado pela geração jovem do período t+1.

A estrutura temporal do modelo aparece na Figura 8.1.

O número de indivíduos nascidos no tempo t e que trabalham no período t é Lt. A população cresce à taxa n, de modo que Lt = L0(1 + n)^t.

Lt = número de indivíduos nascidos e trabalhando no período t;

L0 = população inicial;

n = taxa de crescimento populacional;

t = índice de tempo (período discreto)

As empresas atuam competitivamente e utilizam a tecnologia de retornos constantes Y=F(K,L). Por simplicidade, assume-se que o capital deprecia-se totalmente após o uso, o que equivale a assumir que F(⋅,⋅) é uma função de produção líquida, com a depreciação já contabilizada. Como anteriormente, o produto por trabalhador, Y/L, é dado pela função de produção y=f(k), onde k é a razão capital-trabalho. Assume-se que esta função de produção satisfaz as condições de Inada. Cada empresa maximiza os lucros, tomando a taxa salarial, wt, e a taxa de aluguel do capital, r t, como dadas.

Agora examinamos o problema de otimização de indivíduos e empresas e derivamos o equilíbrio de mercado.

INDIVÍDUOS

Considere um indivíduo nascido no tempo t. Seu problema de maximização é

sujeito a

c1t + st = wt (8.3)

c1t: nível de consumo do indivíduo no primeiro período de sua vida (enquanto jovem), ocorrido no tempo t;

st = poupança realizada pelo indivíduo jovem no período t.

wt = salário recebido no período t.

c2t+1 = (1 + rt+1)st (8.4)

Onde wt é o salário recebido no período t e rt+1 é a taxa de juros paga sobre a poupança mantida do período t para o período t+1. No segundo período, o indivíduo consome toda a sua riqueza, tanto os juros quanto o principal. (Observe que isso assume que não há altruísmo entre gerações, no sentido de que as pessoas não se preocupam em deixar legados (heranças) para as gerações vindouras. Isso é crucial).

A condição de primeira ordem para um máximo é.

que pode ser reescrita como

Esta é a equação de Euler para a geração nascida no tempo t. Observe que ela possui a mesmíssima intuição, em tempo discreto, que a equação de Euler (regra de Ramsey) que derivamos no contexto do NGM.

Em seguida, utilizando (8.3) e (8.4) para substituir c1t e c2t+1 e reorganizando os termos, obtemos:

Podemos pensar nisto como uma função de poupança:

A poupança é uma função crescente da renda salarial, visto que a suposição de separabilidade e concavidade da função utilidade garante que ambos os bens (isto é, o consumo em ambos os períodos) sejam normais. O efeito de um aumento na taxa de juros é ambíguo, entretanto, devido aos efeitos renda e substituição padrão com os quais você está familiarizado na teoria microeconômica. Um aumento na taxa de juros diminui o preço relativo do consumo do segundo período, levando os indivíduos a deslocarem o consumo do primeiro para o segundo período, ou seja, a substituir o consumo do primeiro período pelo do segundo; este é o efeito substituição. Mas ele também aumenta o conjunto de consumo viável, tornando possível aumentar o consumo em ambos os períodos; este é o efeito renda. O efeito líquido desses efeitos de substituição e renda é ambíguo. Se a elasticidade de substituição entre o consumo em ambos os períodos for maior que um, então, neste modelo de dois períodos, o efeito substituição domina e um aumento nas taxas de juros leva a um aumento na poupança.

FIRMAS

As empresas atuam competitivamente, alugando capital até o ponto em que o produto marginal do capital é igual à sua taxa de aluguel, e contratando trabalho até o ponto em que o produto marginal do trabalho é igual ao salário.

f′ (kt) = rt (8.9)

f(kt) - kt f′ (kt) = wt (8.10)

Onde kt é a razão capital-trabalho da empresa. Observe que f(kt) − kt f′ (kt) é o produto marginal do trabalho, devido aos retornos constantes de escala.

8.1.2 | Equilíbrio nos mercados de bens e fatores

O equilíbrio do mercado de bens exige que a demanda por bens em cada período seja igual à oferta ou, equivalentemente, que o investimento seja igual à poupança:

Kt+1 - Kt = Lts(wt, rt+1) - Kt (8.11)

O lado esquerdo é o investimento líquido: a mudança no estoque de capital entre t e t+1. O lado direito é a poupança líquida: o primeiro termo é a poupança dos jovens; o segundo é a despoupança (consumo da poupança) dos idosos.

Eliminando Kt de ambos os lados, observa-se que o capital no tempo t+1 é igual à poupança dos jovens no tempo t. Dividindo ambos os lados por Lt, obtemos a equação de movimento do capital em termos per capita:

(1 + n) kt+1 = s (wt, rt+1) (8.12)

Os serviços de trabalho são ofertados inelasticamente; a oferta de serviços de capital no período t é determinada pela decisão de poupança dos jovens tomada no período t − 1. O equilíbrio nos mercados de fatores ocorre quando o salário e a taxa de aluguel do capital são tais que as empresas desejam utilizar as quantidades disponíveis de serviços de trabalho e de capital. As condições de equilíbrio do mercado de fatores são, portanto, dadas pelas equações (8.9) e (8.10).

8.1.3 | A dinâmica do estoque de capital

A equação de acumulação de capital (8.12), juntamente com as condições de equilíbrio do mercado de fatores (8.9) e (8.10), implica o comportamento dinâmico do estoque de capital:

O numerador desta expressão é positivo, refletindo o fato de que um aumento no estoque de capital no período t aumenta o salário, o que aumenta a poupança. O denominador possui sinal ambíguo porque os efeitos de aumentos na taxa de juros sobre a poupança são ambíguos. Se sr ≥ 0, então o denominador em (8.15) é positivo, e então o mesmo ocorre com dkt+1/dkt

O lugar geométrico da poupança na Figura 8.2 resume tanto o comportamento dinâmico quanto o de estado estacionário da economia. A linha de 45 graus na Figura 8.2 é a linha ao longo da qual os estados estacionários, nos quais kt+1 = kt, devem situar-se. Qualquer ponto em que o lugar geométrico da poupança s cruza essa linha é um estado estacionário. Desenhamos um lugar geométrico que cruza a linha de 45 graus apenas uma vez e, portanto, garante que o estoque de capital de estado estacionário exista e seja único. Mas esta não é a única configuração possível. O modelo não garante, sem restrições adicionais sobre as funções de utilidade e/ou de produção, nem a existência nem a unicidade de um equilíbrio de estado estacionário com estoque de capital positivo.

Se existir um equilíbrio único com estoque de capital positivo, ele será estável? Para responder a isso, avalie a derivada em torno do estado estacionário:

A estabilidade (local) exige que (dkt+1/dkt) ∣SS seja menor que um em valor absoluto.

Figura 8.2 - O estoque de capital de estado estacionário

Novamente, sem restrições adicionais ao modelo, a condição de estabilidade pode ou não ser satisfeita. Para obter resultados definidos sobre as propriedades de dinâmica comparativa e de estado estacionário do modelo, é necessário ou especificar formas funcionais para as funções de utilidade e produção subjacentes, ou impor condições suficientes para a unicidade de um estoque de capital de estado estacionário positivo.

8.1.4 | Um exemplo operacional

Nesta subseção, analisamos as propriedades do modelo OLG sob um conjunto de suposições bastante simples: utilidade logarítmica (isto é, o caso limite onde σ = 1) e produção Cobb-Douglas. (Isso é às vezes referido como o modelo OLG canônico.) Isso permite uma caracterização simples tanto da dinâmica quanto do estado estacionário.

Com esta suposição sobre as preferências, a função poupança é

de modo que a poupança seja proporcional à renda salarial. Observe que a taxa de juros se cancela no caso da utilidade logarítmica, mas não de outra forma. Este é um caso em que a taxa de poupança será constante ao longo do tempo (como no modelo de Solow), embora, mais uma vez, aqui isso seja o resultado de uma escolha ótima (como na versão do modelo AK que estudamos no Capítulo 5).

Com a tecnologia Cobb-Douglas, as regras da empresa para o comportamento ótimo (8.9) e (8.10) tornam-se