Sistemas lineares em duas e três incógnitas
Os sistemas lineares em duas incógnitas aparecem relacionados com interseção de retas. Por exemplo, considere o sistema linear
$$ a_1 x + b_1 y = c_1 \quad (1) $$
Em que:
$a_1$: coeficiente da variável $x$ na primeira equação
$b_1$: coeficiente da variável $y$ na primeira equação
$c_1$: termo constante da primeira equação
$x$: primeira incógnita do sistema
$y$: segunda incógnita do sistema
$$ a_2 x + b_2 y = c_2 \quad (2) $$
Em que:
$a_2$: coeficiente da variável $x$ na segunda equação
$b_2$: coeficiente da variável $y$ na segunda equação
$c_2$: termo constante da segunda equação
$x$: primeira incógnita do sistema
$y$: segunda incógnita do sistema
em que os gráficos das equações são retas no plano $xy$. Cada solução $(x, y)$ desse sistema corresponde a um ponto de interseção das retas, de modo que há três possibilidades (Figura 1.1.1).
1. As retas podem ser paralelas e distintas, caso em que não há interseção e, consequentemente, não existe solução.
2. As retas podem intersectar em um único ponto, caso em que o sistema tem exatamente uma solução.
3. As retas podem coincidir, caso em que existe uma infinidade de pontos de interseção (os pontos da reta comum) e, consequentemente, uma infinidade de soluções.
Em geral, dizemos que um sistema linear é consistente se possuir pelo menos uma solução e inconsistente se não tiver solução. Assim, um sistema linear consistente de duas equações em duas incógnitas tem uma solução ou uma infinidade de soluções, não havendo outra possibilidade. O mesmo vale para um sistema linear de três equações em três incógnitas
$$ a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \quad (3) $$
Em que:
$a_1$: coeficiente da variável $x$ na primeira equação
$b_1$: coeficiente da variável $y$ na primeira equação
$c_1$: coeficiente da variável $z$ na primeira equação
$d_1$: termo constante da primeira equação
$x$: primeira incógnita do sistema
$y$: segunda incógnita do sistema
$z$: terceira incógnita do sistema
$$ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \quad (4) $$
Em que:
$a_2$: coeficiente da variável $x$ na segunda equação
$b_2$: coeficiente da variável $y$ na segunda equação
$c_2$: coeficiente da variável $z$ na segunda equação
$d_2$: termo constante da segunda equação
$x$: primeira incógnita do sistema
$y$: segunda incógnita do sistema
$z$: terceira incógnita do sistema
$$ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3 \quad (5) $$
Em que:
$a_3$: coeficiente da variável $x$ na terceira equação
$b_3$: coeficiente da variável $y$ na terceira equação
$c_3$: coeficiente da variável $z$ na terceira equação
$d_3$: termo constante da terceira equação
$x$: primeira incógnita do sistema
$y$: segunda incógnita do sistema
$z$: terceira incógnita do sistema
em que os gráficos das equações são planos. As soluções do sistema, se as houver, correspondem aos pontos em que os três planos se intersectam, de modo que, novamente, vemos que há somente três possibilidades: nenhuma solução, uma solução ou uma infinidade de soluções. (Figura 1.1.2).
Mais adiante, provaremos que nossas observações sobre o número de soluções de sistemas de duas equações lineares em duas incógnitas e de sistemas de três equações lineares em três incógnitas são válidas em geral, como segue.
Todo sistema de equações lineares tem zero, uma ou uma infinidade de soluções. Não existem outras possibilidades.
EXEMPLO 2 Um sistema linear com uma solução
Resolva o sistema linear
$$ x - y = 1 \quad (6) $$
Em que:
$x$: primeira incógnita do sistema
$y$: segunda incógnita do sistema
$$ 2x + y = 6 \quad (7) $$
Em que:
$x$: primeira incógnita do sistema
$y$: segunda incógnita do sistema
Solução Podemos eliminar $x$ da segunda equação somando $-2$ vezes a primeira equação à segunda. Isso fornece o sistema simplificado
$$ x - y = 1 \quad (8) $$
Em que:
$x$: primeira incógnita do sistema
$y$: segunda incógnita do sistema
$$ 3y = 4 \quad (9) $$
Em que:
$y$: segunda incógnita do sistema
Da segunda equação, obtemos $y = \frac{4}{3}$ e substituir esse valor na primeira equação fornece $x = 1 + y = \frac{7}{3}$. Assim, o sistema tem a solução única
$$ x = \frac{7}{3}, \quad y = \frac{4}{3} \quad (10) $$
Em que:
$x$: valor numérico da solução para a primeira incógnita
$y$: valor numérico da solução para a segunda incógnita
Geometricamente, isso significa que as retas representadas pelas equações do sistema intersectam no único ponto $(\frac{7}{3}, \frac{4}{3})$. Deixamos para o leitor conferir isso traçando os gráficos das retas.
EXEMPLO 3 Um sistema linear sem soluções
Resolva o sistema linear
$$ x + y = 4 \quad (11) $$
Em que:
$x$: primeira incógnita do sistema
$y$: segunda incógnita do sistema
$$ 3x + 3y = 6 \quad (12) $$
Em que:
$x$: primeira incógnita do sistema
$y$: segunda incógnita do sistema
Solução Podemos eliminar $x$ da segunda equação somando $-3$ vezes a primeira equação à segunda. Isso fornece o sistema simplificado
$$ x + y = 4 \quad (13) $$
Em que:
$x$: primeira incógnita do sistema
$y$: segunda incógnita do sistema
$$ 0 = -6 \quad (14) $$
Em que:
$0$: valor do lado esquerdo após a eliminação da variável $x$ e $y$
$-6$: constante resultante da combinação linear dos termos independentes
A segunda equação é contraditória, de modo que o sistema dado não tem solução. Geometricamente, isso significa que as retas correspondentes às equações do sistema original são paralelas e distintas. Deixamos para o leitor conferir isso traçando os gráficos das retas ou, então, mostrar que as retas têm a mesma inclinação, mas cortam o eixo $y$ em pontos distintos.
EXEMPLO 4 Um sistema linear com uma infinidade de soluções
Resolva o sistema linear
$$ 4x - 2y = 1 \quad (15) $$
Em que:
$x$: primeira incógnita do sistema
$y$: segunda incógnita do sistema
$$ 16x - 8y = 4 \quad (16) $$
Em que:
$x$: primeira incógnita do sistema
$y$: segunda incógnita do sistema
Solução Podemos eliminar $x$ da segunda equação somando $-4$ vezes a primeira equação à segunda. Isso fornece o sistema simplificado
$$ 4x - 2y = 1 \quad (17) $$
Em que:
$x$: primeira incógnita do sistema
$y$: segunda incógnita do sistema
$$ 0 = 0 \quad (18) $$
Em que:
$0$: igualdade idêntica obtida pela eliminação de ambas as incógnitas e constantes
A segunda equação não impõe quaisquer restrições a $x$ e $y$ e pode, portanto, ser omitida. Assim, as soluções do sistema são os valores de $x$ e $y$ que satisfazem a única equação
$$ 4x - 2y = 1 \quad (19) $$
Em que:
$x$: primeira incógnita do sistema
$y$: segunda incógnita do sistema
Geometricamente, isso significa que as retas correspondentes às duas equações do sistema original são coincidentes. Uma maneira de descrever o conjunto de soluções é resolver essa equação para $x$ em termos de $y$, obtendo $x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}y$ e, então, associar a $y$ um valor arbitrário $t$ (denominado parâmetro). Isso nos permite expressar a solução pelo par de equações (denominadas equações paramétricas)
$$ x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}t, \quad y = t \quad (20) $$
Em que:
$x$: equação paramétrica expressando a primeira incógnita em função do parâmetro $t$
$y$: variável livre definida igual ao parâmetro $t$
$t$: parâmetro arbitrário ($t \in \mathbb{R}$)
Podemos obter soluções numéricas específicas dessas equações substituindo o parâmetro por valores numéricos. Por exemplo, $t = 0$ dá a solução $(\frac{1}{4}, 0)$, $t = 1$ dá a solução $(\frac{3}{4}, 1)$ e $t = -1$ dá a solução $(-\frac{1}{4}, -1)$. O leitor pode confirmar que essas são soluções, substituindo as coordenadas nas equações dadas.
EXEMPLO 5 Um sistema linear com uma infinidade de soluções
Resolva o sistema linear
$$ x - y + 2z = 5 \quad (21) $$
Em que:
$x$: primeira incógnita do sistema
$y$: segunda incógnita do sistema
$z$: terceira incógnita do sistema
$$ 2x - 2y + 4z = 10 \quad (22) $$
Em que:
$x$: primeira incógnita do sistema
$y$: segunda incógnita do sistema
$z$: terceira incógnita do sistema
$$ 3x - 3y + 6z = 15 \quad (23) $$
Em que:
$x$: primeira incógnita do sistema
$y$: segunda incógnita do sistema
$z$: terceira incógnita do sistema
Solução Esse sistema pode ser resolvido mentalmente, pois a segunda e a terceira equações são múltiplos da primeira. Geometricamente, isso significa que os três planos coincidem e que aqueles valores de $x$, $y$ e $z$ que satisfazem a equação
$$ x - y + 2z = 5 \quad (24) $$
Em que:
$x$: primeira incógnita do sistema
$y$: segunda incógnita do sistema
$z$: terceira incógnita do sistema
automaticamente satisfazem as três equações. Assim, basta encontrar as soluções de (24). Isso pode ser feito resolvendo (24) para $x$ em termos de $y$ e $z$, depois atribuir valores arbitrários $r$ e $s$ (parâmetros) a essas duas variáveis e, então, expressar a solução por meio das três equações paramétricas
$$ x = 5 + r - 2s, \quad y = r, \quad z = s \quad (25) $$
Em que:
$x$: equação paramétrica da variável líder expressa em termos dos parâmetros $r$ e $s$
$y$: variável livre associada ao parâmetro $r$
$z$: variável livre associada ao parâmetro $s$
$r$: primeiro parâmetro real arbitrário
$s$: segundo parâmetro real arbitrário
Soluções específicas podem ser obtidas escolhendo valores numéricos para os parâmetros $r$ e $s$. Por exemplo, tomando $r = 1$ e $s = 0$, dá a solução (6, 1, 0).
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