Distribuições de Aposentadoria - OCDE (2009)

13.2. Padrões de Aposentadoria

Esta seção examina as suposições feitas sobre a distribuição das aposentadorias em torno da vida útil média. Os termos “aposentadoria” (retirements) e “descarte” (discards) são usados aqui de forma intercambiável para se referir à remoção de um ativo do estoque de capital, seja por exportação, venda como sucata, desmontagem, demolição ou simples abandono. Neste contexto, aposentadorias e descartes são diferenciados de “alienações” (disposals), que também incluem as vendas de ativos como bens de segunda mão para uso continuado na produção.

Distribuição de Winfrey. As curvas de Winfrey devem seu nome a Robley Winfrey. Winfrey coletou informações sobre datas de instalação e aposentadoria de 176 grupos de ativos industriais e calculou 18 curvas “tipo” que ofereciam boas aproximações aos padrões de aposentadoria observados (ver Quadro 8). As 18 curvas de Winfrey oferecem uma variedade de opções de assimetria e curtose. Elas são usadas em modelos PIM por vários países.

O grupo das curvas simétricas de Winfrey é representado pela seguinte forma:

Na equação (15), FT representa a probabilidade marginal de um ativo ser aposentado na idade T, onde essa idade é expressa como uma fração da vida útil média. Assim, T varia de zero até o infinito, sendo FT máxima na vida útil média. Em Winfrey (1935), T é expressa em unidades equivalentes a 10% da vida útil média, e os parâmetros a e m fornecidos por Winfrey são compatíveis com a variável idade expressa em decis (décimos). F₀ define o modo da distribuição, ou seja, a probabilidade máxima de aposentadoria (na vida útil média). Duas curvas de Winfrey amplamente utilizadas são as curvas simétricas S2 e S3, com os seguintes parâmetros: (F₀ = 11,911; a = 10; m = 3,70) para a S2 e (F₀ = 15,610; a = 10; m = 6,902) para a S3.

A Tabela 13.1 mostra como as probabilidades marginais são calculadas para duas funções de aposentadoria simétricas de Winfrey. A primeira coluna apresenta intervalos de 10% da vida útil média, seguida da probabilidade de aposentadoria durante esse intervalo etário. Por exemplo, a probabilidade de um ativo ser aposentado entre 20% e 30% da vida útil média é de 0,27% sob a distribuição Winfrey S2, conforme mostrado na segunda coluna, e 0,01% sob a distribuição Winfrey S3, conforme indicado na terceira coluna. Esses valores são obtidos ao inserir a variável de idade T = 20 nas fórmulas de Winfrey, com os parâmetros indicados anteriormente. Para obter uma medida mais refinada, por exemplo em intervalos de 5%, os quintis são mostrados na quarta coluna da Tabela 13.1. As probabilidades marginais nas quinta e sexta colunas são então obtidas por interpolação linear entre as probabilidades derivadas dos decis. O resultado é representado graficamente na Figura 13.1.

Distribuição de Weibull. A função de Weibull tem sido amplamente utilizada em estudos de mortalidade em populações naturais. Trata-se de uma função flexível, capaz de assumir formas semelhantes às curvas de Winfrey. Foi desenvolvida pelo matemático sueco Wallodi Weibull em 1951 e é utilizada por vários países nas estimativas de capital fixo por meio do PIM (Perpetual Inventory Method). A função de frequência de Weibull é expressa da seguinte forma:

T representa novamente a idade do ativo, α > 0 é o parâmetro de forma e λ > 0 é o parâmetro de escala da distribuição. O Statistics Netherlands utilizou dados de pesquisas sobre descarte de ativos para estimar padrões de descarte Weibull para uma ampla variedade de ativos. A tabela abaixo mostra os valores de λ e α para os Países Baixos. O parâmetro α pode ser interpretado como uma medida das variações no risco de um ativo ser descartado:

0 < α < 1 indica que o risco de descarte diminui com o tempo;

α = 1 indica que o risco de descarte permanece constante ao longo da vida útil do ativo;

1 < α < 2 indica que o risco de descarte aumenta com a idade, mas a uma taxa decrescente;

α = 2 indica um risco de descarte que aumenta linearmente com a idade;

α > 2 indica um risco de descarte progressivamente crescente.

Distribuição normal e lognormal. A distribuição normal é amplamente utilizada em muitos ramos da estatística. A distribuição de frequência normal é simétrica e possui a propriedade útil de que 95% das probabilidades se situam dentro de dois desvios-padrão em torno da média. Já a distribuição lognormal é uma distribuição cujo logaritmo segue uma distribuição normal, sendo amplamente usada como função de mortalidade no PIM. A distribuição lognormal é assimétrica à direita (right-skewed) e atribui probabilidade zero de descarte no primeiro ano de vida de um ativo. A cauda direita da distribuição, no entanto, se aproxima de zero, mas nunca o atinge, sendo necessário fixar um ponto arbitrário em que essa probabilidade seja considerada nula.

A distribuição de frequência lognormal é:

T é a idade do ativo, σ é o desvio padrão da função lognormal e μ é sua média. O próprio σ é calculado como:

σ = raiz quadrada de [ln(1 + (m/s)^(-2)]

e μ é calculado como:

μ = ln(m) – 0,5 * σ²,

onde m e s são a média e o desvio padrão da distribuição normal subjacente. A distribuição de frequência lognormal tem sido usada na mensuração do estoque de capital na União Europeia. Com m como a estimativa da vida útil média, o desvio padrão s é definido entre m/2 e m/4 para gerar distribuições de aposentadoria mais ou menos acentuadas.

Tanto os padrões de mortalidade Weibull quanto os lognormais possuem algum respaldo empírico. O Statistics Netherlands e o INSEE francês, respectivamente, demonstraram que esses modelos podem replicar satisfatoriamente os padrões observados de descarte.