SUMÁRIO
13.1. Vida útil dos ativos
13.1.1. Fontes para estimativa das vidas úteis
13.1.2. Custos de transferência de propriedade
13.1.3. Mudanças nas vidas úteis
13.1.4. Efeito dos erros nas estimativas de vida útil
13.2. Padrões de Aposentadoria
13.3. Integração dos padrões de aposentadoria com os perfis de eficiência por idade e de preço por idade
Capítulo 13 - Vidas Úteis e Aposentadoria de Ativos
13.1. Vida útil dos ativos
A precisão das estimativas de estoque de capital derivadas do método de inventário perpétuo (PIM) depende de forma crucial das vidas úteis dos ativos — ou seja, da duração durante a qual os ativos permanecem no estoque de capital, seja no estoque do comprador original ou nos estoques de produtores que os adquirem como ativos de segunda mão. É importante observar que a vida útil do ativo aqui é entendida como uma noção econômica [1], e não como uma noção física ou de engenharia aplicada a bens de capital. Isso é relevante porque implica que a vida útil dos ativos pode mudar ao longo do tempo unicamente por razões econômicas, mesmo que o ativo permaneça fisicamente inalterado. Na verdade, a vida útil econômica é um dos caminhos pelos quais a obsolescência se manifesta — a decisão de retirar o ativo do uso é tomada porque surge um novo modelo, possivelmente mais produtivo e/ou mais barato, tornando o modelo antigo obsoleto.
[1]: Diewert (2006c) analisa um modelo baseado em Harper (2007), no qual o aumento dos salários reais leva à aposentadoria precoce dos ativos; ou seja, esse modelo oferece uma explicação para a obsolescência. O artigo estuda como agregar diferentes gerações (vintages) e como medir a depreciação no contexto desse modelo de incorporação.
Mais precisamente, a vida útil média ou esperada deve ser distinguida da vida útil máxima de uma coorte de ativos, pois as vidas úteis dos mesmos ativos dentro de uma coorte são normalmente descritas por uma função de aposentadoria ou de mortalidade, conforme será abordado adiante. A primeira seção abaixo analisa as fontes disponíveis para estimar vidas úteis; a próxima seção examina evidências de que essas vidas úteis podem estar mudando ao longo do tempo; e uma última seção discute como erros nas suposições sobre a vida útil podem afetar a confiabilidade das estimativas de estoque de capital. O Anexo 1 apresenta as vidas úteis utilizadas por diversos países.
13.1.1. Fontes para estimativa das vidas úteis
"Para fins de contas nacionais, as vidas úteis são vidas úteis econômicas, que podem ser diferentes das vidas úteis físicas."
As principais fontes para estimar vidas úteis são: vidas úteis definidas pelas autoridades fiscais, demonstrações contábeis das empresas, pesquisas estatísticas, registros administrativos, pareceres de especialistas e estimativas de outros países.
Vidas úteis fiscais. Na maioria dos países, as autoridades fiscais especificam o número de anos ao longo dos quais a depreciação de vários tipos de ativos pode ser deduzida dos lucros antes do cálculo dos tributos. Muitos países — incluindo Austrália e Alemanha, por exemplo — utilizam essas definições, seja para estimar a vida útil de ativos para os quais não há outras fontes disponíveis, seja para conferir maior credibilidade às estimativas obtidas por outros métodos.
A questão interessante é: quais fontes são utilizadas, originalmente, para estimar as vidas úteis fiscais? Em geral, parece que essas vidas úteis se baseiam em uma variedade de fontes de confiabilidade variável, incluindo pareceres de especialistas, pesquisas ad hoc sobre determinados ativos em setores específicos e recomendações de associações comerciais. De modo geral, a precisão das vidas úteis fiscais dependerá do grau em que elas são efetivamente aplicadas nos cálculos tributários. Alguns governos utilizam sistemas de depreciação acelerada para incentivar o investimento, o que torna as vidas úteis fiscais irrelevantes para o cálculo dos tributos — e, assim, nem os arrecadadores nem os contribuintes têm incentivos para assegurar que essas vidas úteis sejam precisas ou atualizadas. Em vários países, no entanto, as vidas úteis fiscais são baseadas em investigações periódicas realizadas pelas autoridades fiscais, podendo ser consideradas realistas.
Em alguns casos, os estatísticos concluíram que o padrão das vidas úteis fiscais entre setores ou tipos de ativos é razoavelmente realista, mas que há uma tendência de viés geral em uma direção ou outra. Por isso, aplicam um fator de correção, para cima ou para baixo, antes de utilizar essas informações em suas estimativas pelo método de inventário perpétuo (PIM).
Contabilidade empresarial. As demonstrações contábeis das empresas frequentemente incluem informações sobre as vidas úteis utilizadas para depreciar os ativos. Cingapura e Austrália, por exemplo, utilizaram as vidas úteis informadas nas contas empresariais. O Comitê de Normas Internacionais de Contabilidade (International Accounting Standards Committee) vem incentivando, há alguns anos, os países membros a adotarem padrões contábeis comuns, e as normas desse comitê exigem que as empresas informem as vidas úteis dos ativos utilizadas para o cálculo da depreciação em seus relatórios contábeis. Dessa forma, as demonstrações contábeis das empresas podem se tornar, no futuro, uma fonte mais confiável de informações.
As demonstrações contábeis empresariais quase sempre registram os estoques de ativos a valores históricos (ou de aquisição) e, embora isso represente uma desvantagem para muitos fins, não impede necessariamente seu uso para estimar vidas úteis dos ativos. As estimativas da formação bruta de capital fixo (FBCF) a preços correntes são, por definição, também avaliadas a preços de aquisição e, portanto, consistentes com os estoques registrados nas contas empresariais. Se esses estoques puderem ser convertidos para uma base bruta ao se somar a depreciação acumulada (que também é registrada a preços históricos nas contas empresariais), é possível estimar as vidas úteis comparando-se o estoque bruto de cada ano com a soma dos investimentos realizados durante um certo número de anos anteriores, até encontrar quantos anos de investimentos acumulados mais se aproximam do estoque de capital de cada ano. Essa técnica tem sido utilizada na França, Itália e Estados Unidos.
Pesquisas estatísticas. Dois tipos de pesquisas são relevantes para a estimativa das vidas úteis dos ativos: aquelas que perguntam aos produtores sobre o descarte de ativos durante algum período contábil anterior e aquelas que solicitam aos respondentes que informem as datas de aquisição e as vidas úteis remanescentes esperadas dos ativos atualmente em uso. A Holanda realiza, há alguns anos, uma pesquisa sobre descartes (ver Quadro), e a República Tcheca recentemente incluiu perguntas sobre descartes em sua pesquisa anual de investimento em capital. O Reino Unido, por outro lado, investigou a viabilidade de uma pesquisa sobre descartes, mas concluiu que poucos respondentes seriam capazes de fornecer informações confiáveis sobre ativos que já haviam sido retirados do estoque. Também existe uma abordagem indireta para estimar vidas úteis (ver Quadro 13.3 sobre a Holanda).
A OCDE (2001b) relata diversas outras pesquisas desse tipo — ou seja, pesquisas que perguntam aos respondentes sobre as vidas úteis esperadas. Coreia do Sul e Japão realizaram investigações em larga escala sobre estoques de capital e vidas úteis de ativos, abrangendo a maioria dos setores econômicos. Canadá, Itália e Espanha incluíram perguntas sobre vidas úteis esperadas em pesquisas em andamento sobre investimento em capital ou produção industrial. Os Estados Unidos realizaram uma série de pesquisas específicas por setor na década de 1970 com o objetivo de atualizar as vidas úteis utilizadas para fins fiscais. Na Nova Zelândia, uma pesquisa realizada em nome das autoridades fiscais concentrou-se em 250 tipos específicos de instalações, máquinas, transportes e outros tipos de equipamentos. Para cada tipo de ativo, foi identificado um grupo-alvo de produtores que provavelmente utilizavam aquele tipo específico de equipamento, e os respondentes foram solicitados a informar o ano de aquisição e a vida útil remanescente esperada de um ativo individual daquele tipo. Ao restringir a pesquisa a um único ativo, foi possível alcançar uma boa taxa de resposta.
Os produtores de bens de capital precisam conhecer a estrutura etária do estoque de ativos para poder prever a demanda futura. Por essa razão, associações comerciais e editoras de revistas técnicas às vezes realizam pesquisas, que podem fornecer informações sobre vidas úteis. Informações provenientes dessas fontes não parecem ter sido amplamente utilizadas por órgãos estatísticos, mas é possível que existam dados sobre certos tipos específicos de ativos disponíveis em publicações técnicas e comerciais em alguns países.
Ao mesmo tempo, é necessário certo cuidado ao utilizar informações provenientes de pesquisas de investimento em capital e de alienação de ativos. Frequentemente, as respostas dos informantes indicam há quanto tempo a empresa atualmente proprietária do ativo o possui, mas não incluem o tempo durante o qual o ativo esteve com o proprietário anterior. Isso pode ocorrer independentemente das instruções dadas ao respondente, pois o proprietário atual pode não ter registros sobre a idade do ativo no momento da compra, caso ele tenha sido adquirido usado. Além disso, as respostas podem referir-se ao momento em que a empresa vendeu o ativo para outro usuário, o que não é o mesmo que sucateá-lo ou aposentá-lo. Como resultado, as estimativas de vida útil obtidas por meio dessas pesquisas podem estar subestimadas. É evidente que a depreciação deve depender da vida total do ativo, e não apenas do tempo em que ele foi mantido por um determinado produtor.
Registros administrativos. Para alguns ativos, órgãos governamentais mantêm registros administrativos que podem ser usados para estimar vidas úteis. Em quase todos os países, há registros de construção e demolição de residências e edifícios comerciais, e registros de veículos que permitem acompanhar a vida útil de automóveis. Aeronaves e navios geralmente estão sujeitos a controles semelhantes. Órgãos reguladores dos setores de energia elétrica, ferrovias e telecomunicações também podem ser fontes potenciais de informação.
Pareceres de especialistas. A maioria dos países parece basear ao menos parte de suas estimativas de vidas úteis em pareceres especializados. Isso pode envolver a consulta a um painel de engenheiros de produção familiarizados com as condições de diferentes setores representativos da economia, ou a solicitação a empresas fabricantes de bens de capital para que informem as vidas úteis usuais de diferentes tipos de equipamentos. Como já mencionado, os fabricantes de bens de capital precisam ter estimativas realistas sobre a vida útil normal dos ativos que produzem, uma vez que as vendas de reposição de ativos existentes representam uma parcela significativa de seu mercado. Os próprios fabricantes de ativos, portanto, são uma fonte potencialmente confiável de informações sobre vidas úteis.
Estimativas de outros países. A maioria dos países revisa periodicamente as estimativas utilizadas por outros países para garantir que as suas próprias não estejam muito destoantes das adotadas por nações vizinhas ou semelhantes. De fato, quando os países estimam estoques de capital pela primeira vez, é comum consultarem a literatura ou entrarem em contato com outros institutos de estatística para conhecer as vidas úteis utilizadas em outros contextos. Há, no entanto, um risco: se os países copiarem sistematicamente as estimativas de vida útil de outros, pode-se criar a falsa impressão de que existe um consenso bem fundamentado sobre o tema, quando, na verdade, poucos países, se é que algum, investigaram empiricamente as vidas úteis em seus próprios territórios. Vale lembrar também que as vidas úteis dos ativos são fortemente influenciadas por fatores específicos de cada país, como os preços relativos do capital e do trabalho, taxas de juros, clima e políticas públicas de investimento. As estimativas de outros países podem servir como uma referência geral de credibilidade, mas não devem ser adotadas sem uma análise crítica.
Vidas úteis implícitas nas taxas de depreciação. Quando taxas (constantes) de depreciação são estimadas com o auxílio de técnicas econométricas, faz-se implicitamente uma afirmação sobre as vidas úteis médias dos ativos. Embora a vida útil máxima de um ativo depreciado geometricamente tenda ao infinito, é possível calcular com facilidade o número de anos após os quais um ativo terá perdido 50%, 90% ou 99% de seu valor. Mais especificamente, se a relação Pn = (1 – δ)ⁿ P0 descreve o padrão geométrico do preço de um ativo à medida que envelhece (isto é, seu perfil de preço por idade), onde n é a idade do ativo e δ é a taxa de depreciação obtida por estimativas econométricas, então o número de anos n* após os quais um ativo novo terá perdido X% de seu valor é dado por:
n* = ln(X/100) / ln(1 – δ).
13.1.2. Custos de transferência de propriedade
O custo de transferência de propriedade de ativos é tratado como formação bruta de capital fixo (ver também o Capítulo 14). Por esse motivo, os custos de transferência de propriedade também estão sujeitos ao consumo de capital fixo. No Sistema de Contas Nacionais revisado, recomenda-se que esses custos sejam amortizados ao longo do período em que o ativo se espera que permaneça com o comprador, o qual pode ou não corresponder à vida útil total do ativo. Os custos de transferência de propriedade no momento da alienação de um ativo, assim como os custos finais (por exemplo, os de desmontagem), também devem ser amortizados ao longo do período em que o ativo for mantido, mas registrados quando forem efetivamente incorridos. Quando isso não puder ser feito por falta de dados adequados, esses custos finais ainda devem ser registrados como formação bruta de capital fixo, mas amortizados integralmente como consumo de capital fixo no ano da aquisição.
Os custos de transferência de propriedade podem ou não estar vinculados ao ativo em si. Os serviços de capital associados ao ativo, pelos quais se paga um custo de transferência, podem, por exemplo, ser vistos como os direitos de propriedade dos quais o proprietário se beneficia enquanto detém o ativo. O fato de que os custos de transferência de propriedade sejam considerados investimento em um ativo separado também se reflete na classificação de ativos não financeiros, em que esses custos aparecem como uma categoria de ativo, no mesmo nível que edifícios ou máquinas e equipamentos.
Como o período médio em que os ativos permanecem com um proprietário costuma ser inferior à vida útil do ativo, uma das implicações é que a vida útil ao longo da qual os custos de transferência são amortizados é inferior à vida útil do ativo ao qual estão vinculados. Além disso, não é evidente que o deflator usado para o ativo subjacente seja o índice de preços apropriado para os próprios custos de transferência de propriedade. Um deflator mais geral, como o índice de preços ao consumidor, pode ser mais adequado. Da mesma forma, o formato dos perfis de eficiência por idade e de preço por idade pode ser diferente. Assim, para considerar essas circunstâncias específicas, os custos de transferência de propriedade devem ser tratados como uma categoria separada de ativo. Na prática, essa pode até ser a única opção viável caso as informações estatísticas sobre esses custos venham de fontes diferentes das informações sobre formação bruta de capital fixo e não possam ser alocadas a diferentes tipos de ativos.
13.1.3. Mudanças nas vidas úteis
Existem razões conceituais e empíricas sólidas para acreditar que as vidas úteis dos ativos possam variar ao longo do tempo. Na prática, entretanto, as estimativas de vida útil raramente são atualizadas na maioria dos países. Essa “fixidez” das vidas úteis tem sido criticada, pois se alega que elas tendem a diminuir com o tempo. Duas razões principais são geralmente apontadas:
● Argumenta-se que os “ciclos de produto” estão se tornando mais curtos. Os gostos dos consumidores, em muitos países, podem estar mudando mais rapidamente do que no passado, forçando os fabricantes a lançar novas versões e modelos com maior frequência e a introduzir novos produtos no mercado com mais regularidade. Isso poderia exigir que os produtores reequipassem suas linhas de produção com mais frequência.
● Também se argumenta que muitos bens de capital enfrentam hoje taxas de obsolescência muito mais altas do que no passado. Isso é particularmente verdadeiro no caso de computadores e equipamentos relacionados, e pode também se aplicar a uma gama crescente de ativos que incorporam tecnologia computacional — como máquinas-ferramentas com controle numérico, equipamentos de comunicação e sistemas de produção robotizados.
Por outro lado, alguns ativos certamente estão se tornando mais duráveis. Veículos automotores e aeronaves comerciais são dois exemplos. Além disso, houve avanços consideráveis nos últimos anos no desenvolvimento de sistemas de produção “flexíveis”, que permitem aos fabricantes alternar rapidamente entre diferentes modelos sem necessidade de reequipar as fábricas. Assim, ciclos produtivos mais curtos não implicam, necessariamente, vidas úteis mais curtas.
Há poucos estudos empíricos relevantes sobre mudanças nas vidas úteis dos ativos. Na Alemanha, o Ministério Federal das Finanças começou a publicar tabelas de vidas úteis para fins fiscais em 1957, atualizadas regularmente desde então. O Statistisches Bundesamt (Departamento Federal de Estatística) observa que os funcionários do Ministério mantêm contato frequente com empresas sobre alterações nas vidas úteis. As informações obtidas podem ter caráter impressionista e não científico, mas são consideradas suficientemente consistentes para indicar a direção e a magnitude aproximada dessas mudanças. Schmalwasser e Schidlowski (2006) relatam que as vidas úteis, por tipo de produto, são revisadas a cada 10 a 15 anos. Vale lembrar ainda que, mesmo que as vidas úteis no nível mais desagregado do produto permaneçam constantes, a vida útil média de uma geração de ativos pode mudar se houver alteração na composição dos produtos.
A maioria dos países parece manter as vidas úteis fixas para fins de estimativa via PIM, mas há exceções. Nas estimativas de estoque de capital do Reino Unido, assume-se que a vida útil da maioria dos ativos vem diminuindo gradualmente desde a década de 1950, com reduções de pouco mais de 1% ao ano para ativos de longa duração. O Statistisches Bundesamt da Alemanha utiliza vidas úteis decrescentes para moradias, edifícios agrícolas, veículos automotores e certos tipos de equipamentos industriais. A Finlândia considera que as vidas úteis de máquinas e equipamentos caíram de 0,8% a 1% ao ano entre 1960 e 1989, e em cerca de metade desse ritmo desde 1990.
Algumas dessas reduções nas vidas úteis não são introduzidas porque os estatísticos acreditam que as vidas úteis de tipos específicos de ativos estejam diminuindo, mas sim porque se entende que os grupos de ativos identificados nos modelos PIM estão incorporando uma proporção crescente de ativos com vidas úteis mais curtas. Em particular, os ativos com componentes computacionais são geralmente considerados como tendo vidas úteis menores que outros tipos de equipamentos, e a participação desses ativos está quase certamente aumentando em todos os países. Assim, mesmo na ausência de dados sobre ativos específicos, pode ser correto assumir vidas úteis decrescentes para grupos de ativos. É claro que a importância desse efeito de composição depende do nível de detalhamento da classificação de ativos utilizada.
Há menos exemplos de aumento das vidas úteis. Na Alemanha, por exemplo, considera-se que a vida útil das aeronaves comerciais era de 5 a 8 anos antes de 1976, passando a 12 anos para aeronaves adquiridas a partir de então. Nos Estados Unidos, equipamentos de iluminação e energia elétrica recebiam uma vida útil de 40 anos antes de 1946 e de 45 anos para os anos posteriores. As aeronaves comerciais também passaram a ter vidas úteis mais longas ao longo do tempo — de 12 ou 16 anos antes de 1960 para 15 ou 20 anos a partir desse período. A Austrália cita evidências de registros de veículos que indicam um aumento nas vidas úteis dos automóveis, o que pode ser um fenômeno relativamente disseminado.
13.1.4. Efeito dos erros nas estimativas de vida útil
Idealmente, para a implementação precisa do método de inventário perpétuo (PIM), é necessário um conjunto de vidas úteis para grupos de ativos bem definidos, utilizados em diferentes setores e tipos de atividade. Além disso, esse conjunto de vidas úteis deveria ser atualizado regularmente para refletir mudanças cíclicas ou de longo prazo no tempo médio em que os ativos permanecem no estoque. A partir da revisão das fontes apresentada acima, fica claro que as informações realmente disponíveis estão muito aquém desse ideal. As estimativas de vida útil geralmente estão disponíveis apenas para grupos amplos de ativos; há poucas informações sobre diferenças nas vidas úteis entre setores e tipos de atividade; e, na maioria dos países, as vidas úteis são atualizadas com pouca frequência. Esta seção analisa como erros nas estimativas de vida útil podem afetar os níveis e as taxas de crescimento dos estoques de capital derivados do PIM.
O efeito de erros nas vidas úteis médias utilizadas no PIM pode ser avaliado por meio de “estudos de sensibilidade”, executando-se o modelo PIM com estimativas alternativas de vidas úteis.
Estudos analíticos costumam focar nas taxas de crescimento em vez dos níveis de estoque. Em geral, o efeito de mudanças nas vidas úteis sobre as taxas de crescimento é imprevisível, pois as vidas úteis atuam como pesos. Uma revisão para cima na vida útil de um ativo específico aumenta sua participação no estoque total. Uma revisão para cima em um componente do estoque que cresce mais rapidamente (ou mais lentamente) elevará (ou reduzirá) a taxa de crescimento do estoque de capital como um todo.
O nível do estoque bruto, novamente, varia na mesma direção das mudanças nas vidas úteis. A depreciação, no entanto, geralmente muda em direção oposta — isto é, o aumento das vidas úteis reduz o valor da depreciação. Isso ocorre porque, com vidas úteis mais longas, cada ativo é amortizado por um período maior, e esse efeito supera o aumento decorrente do fato de que vidas úteis mais longas implicam mais ativos no estoque. Em alguns anos, no entanto, o aumento no número de ativos no estoque devido às vidas úteis mais longas superou a redução no valor de depreciação atribuída a cada ativo, e o consumo total de capital fixo aumentou com o uso de vidas úteis maiores.
O estoque líquido de capital é obtido subtraindo-se o consumo acumulado de capital fixo do estoque bruto. Como vidas úteis mais longas sempre aumentam o estoque bruto de capital e geralmente reduzem o consumo de capital fixo, o estoque líquido tende a crescer quando se utilizam vidas úteis maiores. Além disso, o aumento no estoque líquido à medida que as vidas úteis se alongam tende a ser relativamente maior do que no caso do estoque bruto de capital. Conclusão semelhante aplica-se aos efeitos das mudanças nas vidas úteis sobre o estoque produtivo.
13.2. Padrões de Aposentadoria
Esta seção examina as suposições feitas sobre a distribuição das aposentadorias em torno da vida útil média. Os termos “aposentadoria” (retirements) e “descarte” (discards) são usados aqui de forma intercambiável para se referir à remoção de um ativo do estoque de capital, seja por exportação, venda como sucata, desmontagem, demolição ou simples abandono. Neste contexto, aposentadorias e descartes são diferenciados de “alienações” (disposals), que também incluem as vendas de ativos como bens de segunda mão para uso continuado na produção.
Saída simultânea. A função de aposentadoria por saída simultânea assume que todos os ativos são retirados do estoque de capital no exato momento em que atingem a vida útil média para o tipo de ativo em questão. A função de sobrevivência, portanto, indica que todos os ativos de um determinado tipo e coorte (ou seja, ano de instalação) permanecem no estoque até o tempo T, momento no qual são todos aposentados simultaneamente. Esse padrão de aposentadoria é às vezes referido como “saída súbita”, mas essa expressão é ambígua. Independentemente do padrão de mortalidade utilizado, os ativos individuais são sempre retirados de forma súbita; a característica distintiva desta função é que todos os ativos de um determinado tipo e geração são aposentados ao mesmo tempo.
Contudo, não é plausível supor que todos os ativos de uma mesma geração sejam retirados do estoque no exato momento em que alcançam a vida útil média. Alguns ativos serão descartados antes de atingir essa média porque foram sobrecarregados, mal conservados ou sofreram acidentes, enquanto outros continuarão prestando bons serviços por vários anos além da expectativa de vida média. Assim, o padrão de saída simultânea deve ser considerado um padrão inadequado de aposentadoria [3].
[3]: Na seção 6 de seu artigo, Diewert e Wykoff (2006) propõem uma forma de utilizar pesquisas sobre descartes/alienações de ativos para estimar taxas de depreciação sem a necessidade de ajustes explícitos como os de Hulten e Wykoff (1981a, 1981b), que consideram o fato de que nem todos os ativos são aposentados ao mesmo tempo. No entanto, o método proposto por Diewert e Wykoff ainda não foi testado.
Linear. No padrão de aposentadoria linear, assume-se que os ativos são descartados à mesma taxa a cada ano, desde o momento da instalação até o dobro da vida útil média. A função de mortalidade tem a forma de um retângulo, cuja altura — a taxa de aposentadoria — é igual a 1/2T, onde T é a vida útil média. A função de sobrevivência mostra que os ativos sobreviventes são reduzidos por uma quantidade constante a cada ano, equivalente a 50/T% do grupo original de ativos.
É igualmente implausível supor que uma proporção constante de ativos de uma determinada coorte seja descartada a cada ano, começando já no primeiro ano após a instalação. Os ativos, por definição, são esperados para permanecer em uso por vários anos, e os descartes nos anos imediatamente após a instalação tendem a ser raros para a maioria dos bens. Assim, o padrão linear de aposentadoria também não se sustenta em termos de plausibilidade.
Linear com atraso (Delayed linear). O padrão linear simples assume que as aposentadorias começam imediatamente após a instalação, o que geralmente é considerado uma suposição irrealista. O padrão linear com atraso é mais realista ao assumir que os descartes ocorrem ao longo de um período menor que 2T. As aposentadorias começam mais tarde e terminam mais cedo do que no caso linear simples. Suponha, por exemplo, que se assuma que os ativos sejam aposentados no intervalo entre 80% e 120% da vida útil média. A taxa de aposentadoria, na função de mortalidade, será então igual a 1 / T(1,2 – 0,8), ou 250/T% ao ano durante o período em que os descartes ocorrerem.
O modelo linear com atraso pressupõe que, uma vez iniciados os descartes, partes iguais do grupo de ativos são retiradas até que toda a coorte tenha desaparecido. Esta hipótese é provavelmente menos plausível do que a de um aumento gradual de descartes nos primeiros anos e uma redução progressiva nos anos finais — padrão implícito nas distribuições em forma de sino.
Forma de sino (Bell-shaped). No padrão de mortalidade em forma de sino, as aposentadorias começam gradualmente algum tempo após o ano de instalação, atingem um pico por volta da vida útil média e depois diminuem de forma igualmente gradual nos anos subsequentes. Diversas funções matemáticas podem gerar padrões de aposentadoria com essa forma, oferecendo flexibilidade quanto à inclinação e curtose. Entre essas funções estão a gamma, quadrática, Weibull, Winfrey e lognormal. As três últimas são provavelmente as mais utilizadas em modelos PIM e são descritas a seguir.
Distribuição de Winfrey. As curvas de Winfrey devem seu nome a Robley Winfrey, engenheiro pesquisador que trabalhou na Iowa Engineering Experimentation Station na década de 1930. Winfrey coletou informações sobre datas de instalação e aposentadoria de 176 grupos de ativos industriais e calculou 18 curvas “tipo” que ofereciam boas aproximações aos padrões de aposentadoria observados (ver Quadro 8). As 18 curvas de Winfrey oferecem uma variedade de opções de assimetria e curtose. Elas são usadas em modelos PIM por vários países.
O grupo das curvas simétricas de Winfrey é representado pela seguinte forma:
A Tabela 13.1 mostra como as probabilidades marginais são calculadas para duas funções de aposentadoria simétricas de Winfrey. A primeira coluna apresenta intervalos de 10% da vida útil média, seguida da probabilidade de aposentadoria durante esse intervalo etário. Por exemplo, a probabilidade de um ativo ser aposentado entre 20% e 30% da vida útil média é de 0,27% sob a distribuição Winfrey S2, conforme mostrado na segunda coluna, e 0,01% sob a distribuição Winfrey S3, conforme indicado na terceira coluna. Esses valores são obtidos ao inserir a variável de idade T = 20 nas fórmulas de Winfrey, com os parâmetros indicados anteriormente. Para obter uma medida mais refinada, por exemplo em intervalos de 5%, os quintis são mostrados na quarta coluna da Tabela 13.1. As probabilidades marginais nas quinta e sexta colunas são então obtidas por interpolação linear entre as probabilidades derivadas dos decis. O resultado é representado graficamente na Figura 13.1.
Distribuição de Weibull. A função de Weibull tem sido amplamente utilizada em estudos de mortalidade em populações naturais. Trata-se de uma função flexível, capaz de assumir formas semelhantes às curvas de Winfrey. Foi desenvolvida pelo matemático sueco Wallodi Weibull em 1951 e é utilizada por vários países nas estimativas de capital fixo por meio do PIM (Perpetual Inventory Method). A função de frequência de Weibull é expressa da seguinte forma:
T representa novamente a idade do ativo, α > 0 é o parâmetro de forma e λ > 0 é o parâmetro de escala da distribuição. O Statistics Netherlands utilizou dados de pesquisas sobre descarte de ativos para estimar padrões de descarte Weibull para uma ampla variedade de ativos. A tabela abaixo mostra os valores de λ e α para os Países Baixos. O parâmetro α pode ser interpretado como uma medida das variações no risco de um ativo ser descartado:
0 < α < 1 indica que o risco de descarte diminui com o tempo;
α = 1 indica que o risco de descarte permanece constante ao longo da vida útil do ativo;
1 < α < 2 indica que o risco de descarte aumenta com a idade, mas a uma taxa decrescente;
α = 2 indica um risco de descarte que aumenta linearmente com a idade;
α > 2 indica um risco de descarte progressivamente crescente.
Distribuição Gama. A distribuição Gama é utilizada por alguns institutos estatísticos, por exemplo, o *Statistisches Bundesamt* da Alemanha, porque essa distribuição possui respaldo empírico com base em padrões observados de registro de automóveis. Ela é medida como:
Os parâmetros a e p determinam a forma da função de aposentadoria dos ativos. Na Alemanha, para a maioria dos bens, esses parâmetros são definidos como iguais a 9, o que melhor aproxima o padrão empírico de descarte de automóveis.
Distribuição normal e lognormal. A distribuição normal é amplamente utilizada em muitos ramos da estatística. A distribuição de frequência normal é simétrica e possui a propriedade útil de que 95% das probabilidades se situam dentro de dois desvios-padrão em torno da média. Já a distribuição lognormal é uma distribuição cujo logaritmo segue uma distribuição normal, sendo amplamente usada como função de mortalidade no PIM. A distribuição lognormal é assimétrica à direita (right-skewed) e atribui probabilidade zero de descarte no primeiro ano de vida de um ativo. A cauda direita da distribuição, no entanto, se aproxima de zero, mas nunca o atinge, sendo necessário fixar um ponto arbitrário em que essa probabilidade seja considerada nula.
A distribuição de frequência lognormal é:
T é a idade do ativo, σ é o desvio padrão da função lognormal e μ é sua média. O próprio σ é calculado como:
σ = raiz quadrada de [ln(1 + (m/s)^(-2)]
e μ é calculado como:
μ = ln(m) – 0,5 * σ²,
onde m e s são a média e o desvio padrão da distribuição normal subjacente. A distribuição de frequência lognormal tem sido usada na mensuração do estoque de capital na União Europeia. Com m como a estimativa da vida útil média, o desvio padrão s é definido entre m/2 e m/4 para gerar distribuições de aposentadoria mais ou menos acentuadas.
Tanto os padrões de mortalidade Weibull quanto os lognormais possuem algum respaldo empírico. O Statistics Netherlands e o INSEE francês, respectivamente, demonstraram que esses modelos podem replicar satisfatoriamente os padrões observados de descarte.
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