Fórmulas de Econometria

 Maia, Alexandre Gori. Econometria: conceitos e aplicações. São Paulo: Saint Paul Editora; 2017.

Fórmulas

Cap. 01 - Correlação e Regressão Linear Simples

Equação 1 - Covariância populacional

𝜎𝑋𝑌: covariância populacional entre X e Y

Xi, Yi: valores das variáveis X e Y no i-ésimo par

μX: média populacional de X

𝜇𝑌: média populacional de Y

N: número de pares na população

Equação 2 - Covariância amostral

sXY: covariância amostral entre X e Y

Xi, Yi: valores das variáveis X e Y no i-ésimo par

$\bar{X}$, $\bar{Y}$: médias amostrais de X e Y

n: número de pares na amostra.

Equação 3 - Valores centrados

xi: valor da variável X centrado na média amostral (Xi - $\overline{\mathrm{X \; }}$)

yi: valor da variável Y centrado na média amostral (Yi - $\overline{\mathrm{Y \; }}$) 

Xi, Yi: valores das variáveis X e Y no i-ésimo par

$\overline{\mathrm{X \; }}$, $\overline{\mathrm{Y \; }}$: médias amostrais de X e Y

Essa equação define os desvios de cada valor individual em relação à média, ou seja, os valores centrados.

Equação 4 - Covariância usando os valores centrados

$\hat{\sigma}_{xy}$: estimativa da covariância amostral entre X e Y expressa com os valores centrados

xi, yi: valores centrados conforme a equação (3)

n: número de observações (pares) na amostra

Equações 5 a 8 - Exemplos numéricos

Equação 6 - 

Equação 7 - 

Equação 8 - 

Equação 9 - 

Equação 10 - 

Equação 11 - 

Equação 12 - 

Equação 13 - 

Equações 14 a 16 - Exemplos numéricos

Equação 17 - 

Equação 18 (= 19 = 25) - 

Equação 20 - 

Equação 21 - 

Equação 22 - 

Equação 23 - 

Equação 24 - 

Equação 25 - 

Equação 26 - 

Equação 27 - 

Equação 28 - 

Equação 29 - 

Equação 30 - 

Equação 31 - 

Equação 32 - 

Equação 33 - 

Equação 34 - 

Equação 35 - 

Equação 36 - 

Equação 37 e 38 - Exemplos numéricos 

1.4.3 Propriedades dos estimadores de mínimos quadrados ordinários

A partir de desenvolvimento algébrico, podemos derivar algumas importantes propriedades dos estimadores de MQO.

Propriedade 01

\[2\sum_{i=1}^n [Y_i - (\hat{\alpha} + \hat{\beta}X_i)] (-1) = 0 \hspace{1cm} (39)\]

\[\sum_{i=1}^n[Y_i - \hat{Y_i}] = \sum_{i=1}^n \hat{e_i} = 0 \]

Propriedade 02

\[\sum_{i=1}^n (\hat{e_i} - \bar{e}) (X_i - \bar{X}) = 0  \hspace{1cm} (40)\]

\[ \sum_{i=1}^n \hat{e_i}X_i - \bar{X}\sum_{i=1}^n \hat{e_i} - \bar{e} \sum_{i=1}^n X_i + \bar{e}\sum_{i=1}^n \bar{X} = \sum_{i=1}^n \bar{e_i} x_i = 0 \hspace{1cm} (41)\]

\[2 \sum_{i=1}^n [Y_i - (\hat{\alpha} + \hat{\beta} X_i)] (-X_i) = 0 \hspace{1cm} (42)\]

\[\sum_{i=1}^n (Y_i - \hat{Y_i}) (X_i) = \sum_{i=1}^n (\hat{e_i}) (X_i) = 0 \]

Propriedade 03

Figura 1.14 - Valores médios de Y e X em função de regressão amostral

\[\hat{Y_i} = \hat{\alpha} + \hat{\beta} X_i \]

\[\hat{Y_i} = (\bar{Y} - \hat{\beta} \bar{X}) + \hat{\beta} X_i \hspace{1cm} (43)\]

\[\hat{Y_i} = \bar{Y} - \hat{\beta} \bar{X} + \hat{\beta} X_i\]

\[\hat{Y_i} = \bar{Y} \]

Propriedade 04

\[\sum_{i=1}^n \hat{e_i} (\hat{Y_i} - \bar{Y}) = \sum_{i=1}^n \hat{e_i} \hat{Y_i} = 0  \hspace{1cm} (44)\]

\[\sum_{i=1}^n \hat{e_i} \hat{Y_i} = \sum_{i=1}^n \hat{e_i} (\hat{\alpha} + \hat{\beta} X_i) = \hat{\alpha} \sum_{i=1}^n \hat{e_i} + \hat{\beta} \sum_{i=1}^n \hat{e_i}X_i = 0 \hspace{1cm} (45)\]

Notação

$\sigma_{XY}$ = covariância populacional;

N = pares de valores da população;

$\mu_y$ = média populacional de Y;

$\mu_x$ = média populacional de X;

$\hat{\sigma}_{XY}$ = covariância amostral;

n = número de pares da amostra;

$X_i$ = valores de X de uma população;

$Y_i$ = valores de Y de uma população;

$\bar{X}$ = média amostral de X;

$\bar{Y}$ = média amostral de Y;

$x_i$ = valores centrados de X. Assim, $ x_i = (Xi - \bar{X})$. Trata-se da diferença dos valores de x e sua média.

$y_i$ = valores centrados de Y. Assim, $y_i = (Yi - \bar{Y})$. Trata-se da diferença dos valores de y e sua média.

$\rho$ = correlação populacional;

$\sigma_X$ = desvio-padrão populacional de X. Sendo, $\sigma_X = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N x^2_i}{N}}$

$\sigma_Y$ = desvio-padrão populacional de Y. Sendo, $\sigma_Y = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N y^2_i}{N}}$

$S_X$ = desvio-padrão amostral de X. Sendo $S_X = \sqrt{\frac{\sum_i x^2_i}{n-1}}$ ou $S_X = \sqrt{\frac{\sum_i (X_i - \bar{X})^2}{n-1}}$

$S_Y$ = desvio-padrão amostral de Y. Sendo $S_Y = \sqrt{\frac{\sum_i y^2_i}{n-1}}$ ou $S_y = \sqrt{\frac{\sum_i (X_i - \bar{Y})^2}{n-1}}$

r = correlação populacional;

$Y_i$ = valores de Y;

Y = variável dependente (explicitada/regressada);

X = variável independente (explanatória/regressora);

$e$ = erro aleatório não explicado pelo modelo;

$\alpha$ = termo constante (intercepto). Trata-se do valor esperado de Y quando X for nulo;

$\beta$ = coeficiente angular (coeficiente de regressão). Trata-se da variação marginal no valor esperado de Y dada uma variação unitária em X;

$E(Y/X_i) = E(Y_i)$ = esperamça condicional de Y dado um valor de X;

$E(e_i)$ = esperança condicional dos erros;

$EQT$ = erro quadrático total;

$\hat{Y_i}$ = valores previstos de Y.

$\hat{e_i}$ = valores previstos do erro não explicado pelo modelo;

$\hat{\alpha}$ = valores previstos para $\alpha$;

$\hat{\beta}$ = valores previstos para $\beta$;

$\partial$ = refere-se às derivadas parciais;