Uma Nota Matemática sobre Teoremas Marxistas - Nabuo Okisio

OKISIO, Nobuo. A mathematical note on Marxian theorems. Weltwirtschaftliches Archiv , 1963, Bd. 91 (1963), pp. 287-299

Texto completo em inglês disponível aqui.

SUMÁRIO

I. Suposições e Notações.

II. Valor: Produtividade do Trabalho.

III. Valor de Troca: Preço de Referência.

IV. Mais-Valia: Determinante do Emprego.

V. Lucro e Salários Reais.

VI. Problema da Transformação.

Resumo

Os teoremas fundamentais na Economia Marxista estão fundamentados em dois fatores: (i) o fator tecnológico e (ii) o fator social. O principal fator social no mundo capitalista é a relação conflituosa entre os capitalistas e a classe trabalhadora. Neste artigo, reformulamos alguns teoremas marxistas em termos matemáticos, com a esperança de esclarecer as doutrinas marxistas para aqueles que estão confusos devido à expressão um tanto obscura de Marx.

I. Suposições e Notação

Com o objetivo de revelar a ideia central da forma mais clara possível, estabelecemos as seguintes suposições:

(1) Desconsideramos classes além das classes capitalista e trabalhadora, de modo que categorias de renda além de salários e lucro possam ser ignoradas.

(2) O trabalho é considerado homogêneo, portanto, as diferenças salariais são ignoradas.

(3) Os trabalhadores gastam toda a sua renda salarial em consumo com um padrão fixo.

(4) A velocidade de circulação do capital é a mesma, independentemente da indústria.

(5) Retornos constantes de escala e ausência de produtos conjuntos.

Essas suposições não limitam necessariamente a validade dos teoremas marxistas. Os resultados obtidos com base nessas suposições podem ser facilmente adaptados para casos mais realistas.

Para a formulação matemática, especificamos nossas notações da seguinte forma:

aij: a quantidade do j-ésimo bem necessária para produzir uma unidade do i-ésimo bem.

τi: a quantidade de trabalho diretamente necessária para produzir uma unidade do i-ésimo bem.

ti: a quantidade total de trabalho necessária para produzir uma unidade do i-ésimo bem, ou seja, τi mais o trabalho necessário para produzir (ai1, ai2, ..., ain).

pi: o preço de uma unidade do i-ésimo bem.

ω: a taxa de salário em dinheiro.

T: o número de horas de trabalho por dia.

(B1, B2, ..., Bn): o conjunto de bens de consumo recebidos por um trabalhador por dia.

r: a taxa normal de lucro.

II. Valor: Produtividade do Trabalho.

Uma noção central na economia marxista é o conceito de "valores". O valor de uma mercadoria é medido pela quantidade total de trabalho necessária para produzir uma unidade da mercadoria com métodos padrão em uma sociedade. Quais equações determinam o valor de uma mercadoria? E em que fatores o valor de uma mercadoria depende?

O valor do i-ésimo bem é "ti" em nossa notação. E se o método de produção padrão na i-ésima indústria for dado como (ai1, ..., ain, τi), então os valores das mercadorias são determinados pelas seguintes equações [1]:

[1]: Essas equações são idênticas às equações de Kenneth May (5') em seu artigo "A Estrutura das Teorias de Valor Clássicas", The Review of Economic Studies, Vol. XVII, Cambridge, Inglaterra, 1949 - 1950, p. 63.

$t_i = \sum a_(ij)t_i + \tau_i  \hspace{1cm} (i = 1, 2, ..., n) \hspace{1cm} (1)$

$(E – A), \hspace{1cm} A = (a_{ij}) \hspace{1cm} (2)$

$t_i = \sum a_{ij} t_j + \sum \tau_{ik} h_k \hspace{1cm} (3)$

$h_1 = 1 \ hspace{1cm} (4)$

$\Lambda_k h_k = \Lambda_k + \sum H_{ki} t_i + \sum T_{kj} h_j \hspace{1cm} (k = 2, 3, ..., n) \hspace{1cm} (5)$

$p_i = \lambda t_i \hspace{1cm} (i = 1, 2, ..., n) \hspace{1cm} (6)$

$p_i = \sum a_{ij} \rho_j + \lambda \tau_i \hspace{1cm} (7)$

$\frac{t_i}{p_i} = \sum \frac{a_{ij} p_j}{p_i} \frac{t_j}{p_j} + \frac{\tau_i}{p_i} \hspace{1cm} (8)$

$e = \frac {(T - \sum B_i t_i) }{\sum B_i t_i}   \hspace{1cm} (9)$

$e=\dfrac{\left( 1-\sum b_{i}t_{i}\right) }{\sum b_{i}t_i}  \hspace{1cm} (10)$

 

$x_{j}=\sum a_{ij}x_{i}+b_{j}N+v_{j}\hspace{1cm}(11)$

$ \hspace{1cm}(12)$

$ \hspace{1cm}(13)$

$ \hspace{1cm}(14)$

$ \hspace{1cm}(15)$

$ \hspace{1cm}(16)$

$ \hspace{1cm}(17)$

$ \hspace{1cm}(18)$

$ \hspace{1cm}(19)$

$ \hspace{1cm}(20)$

$ \hspace{1cm}(21)$

$ \hspace{1cm}(22)$

$0 =\sum b'_i (q'_i - q_i) + \sum a_{ij} (q'_j - q_j) +q'_i (\beta - \beta') \hspace{1cm}(23)$

$(\beta E - A) \hspace{1cm}(24)$

$\beta ^{\ast }q^*_{i} =\sum a'_{ij}q^*_{j}+\tau'_i \hspace{1cm}(25)$

$1=\sum b'_iq^*_i$

$\sum a_{ij}q_{j}+\tau _{i} <\sum a'_{ij}q_{j}+\tau_i \hspace{1cm}(26)$

$\sum a'_{ij}q^*_{i}+\tau' _{i} <\sum a_{ij}q^*_{i}+\tau _{i} \hspace{1cm}(27)$

$\beta ^* \left( q^*_{i}-q_{i}\right)  > \sum a'_{ij} ( q^*_{j}-q_{j}) +q_{i}\left( \beta -\beta ^{\ast }\right)  \hspace{1cm}(28)$

$0=\sum b'_{i}\left( q^*_{i}-q_{i}\right)  + \sum (b'_i - b_i)q_i \hspace{1cm}(29)$

$\left( \beta^* E-A^{1}\right) \hspace{1cm} A'=( a'_{ij})  \hspace{1cm}(30)$

$\beta '\left( q'_{i}-q^*_{i}\right) > \sum a_{ij}\left( q'_{j}-q^*_{j}\right) +q^*_{i}\left( \beta ^{\ast }-\beta' \right) \hspace{1cm}(31)$

$0=\sum b_{i}'\left( q_{i}'-q_{i}^*\right) \hspace{1cm}(32)$

$\left( \beta E-A\right) \hspace{1cm}(33)$