CRUZ, Lito Perez. Theoremus: a student's guide to mathematical proofs. Springer Nature, 2021.
Texto original em inglês disponível aqui.
Parte I - Os Fundamentos
1 Introdução 3
1.1 O Mundo Virou Matemática 3
1.2 A Cultura e Tradição das Provas 4
1.3 As Provas Afiaram Habilidades de Pensamento 5
Referências 6
2 Teoremas e Provas 7
2.1 O Que São Teoremas? 7
2.2 O Que É um Argumento? 9
2.3 O Que É uma Prova? 11
2.3.1 Provas Falaciosas 11
2.3.2 Válidas e Sólidas 14
2.3.3 A Notação Tem um Papel 16
2.4 Reflexões 16
3 Tipos de Teoremas 19
3.1 O Que São Teoremas? 19
3.2 Declarações e Proposições 19
3.3 Se-Então 20
3.4 Se e Somente Se 21
3.5 Declarações de Equações 21
3.6 Declarações Quantificadas, “para todos” 22
3.7 Declarações Quantificadas, “existem” 23
3.8 Reflexões 24
Referências 24
4 Fundamentos Lógicos da Prova 25
4.1 Lógica Proposicional 25
4.1.1 Componentes Básicos 26
4.1.2 Valorações Verdadeiras/Falsas 26
4.1.3 Equivalências Lógicas 29
4.1.4 Regras de Inferência 30
4.1.5 Reflexões 35
4.2 Lógica de Predicados 35
4.2.1 Componentes Básicos 36
4.2.2 Formas Categóricas 38
4.2.3 Valorações Verdadeiras/Falsas 38
4.2.4 Equivalências Lógicas 39
4.2.5 Regras de Inferência 41
4.3 Alerta de Falácia 42
Referências 42
5 Tipos de Técnicas de Prova 43
5.1 Método Direto 43
5.2 Método Indireto 44
5.3 Prova por Contradição 45
5.4 Método da Esquerda-Direita 46
5.5 O Método dos Casos 48
5.6 Método da Indução Matemática 49
5.6.1 Forma Fraca 49
5.6.2 Forma Forte 50
5.6.3 Por Que Funciona 51
5.7 Reflexões 53
5.8 Prova por Construção 54
Referências 56
Parte II - Uma Aplicação
6 Sistema Formal para PL 59
6.1 PL como um Sistema Formal 59
6.2 Sintaxe de PL 60
6.3 Indução na Fórmula de PL 64
6.4 Semântica de PL 66
6.5 Satisfiabilidade, Validade e Consequências 69
6.6 Sistema de Prova de PL 72
6.6.1 Estilo Gentzen ND 73
6.6.2 Regras de Inferência de Gentzen 74
6.7 Consistência, Completude e Solidez 77
6.7.1 Particular 77
6.7.2 Geral 78
6.8 Resolução 81
6.8.1 Satisfiabilidade e Consistência Novamente 82
6.8.2 As Formas Normais 83
6.8.3 O Método 84
Referências 91
7 Sistema Formal para LPO 93
7.1 LPO como um Sistema Formal 93
7.2 Sintaxe de LPO 94
7.2.1 Termos 94
7.2.2 Fórmulas 95
7.2.3 Concordância 98
7.2.4 Substituição 98
7.3 Semântica de LPO 99
7.4 Sistema de Prova de LPO 102
7.4.1 Consistência, Completude e Solidez 104
7.5 Resolução 107
7.5.1 Forma Retificada 108
7.5.2 Forma Prenexa 109
7.5.3 Algumas Equivalências Úteis 110
7.5.4 Skolemização 111
7.5.5 Unificação 114
7.5.6 O Procedimento 115
Referências 119
8 Fazendo a Matemática 121
8.1 Teorias de Primeira Ordem 121
8.1.1 Definição de Teorias 122
8.1.2 Alguns Exemplos 123
8.2 A Produção de Teoremas 125
8.2.1 Provas Falaciosas 125
8.2.2 Provas Realmente Sérias 127
Referências 129
Índice 131
Acrônimos [1]
[1]: Em geral, definimos as abreviações no local onde são introduzidas pela primeira vez no texto.
a.C. Antes de Cristo
LPO = Lógica de Primeira Ordem
HI = Hipótese Indutiva
IM = Indução Matemática
LP = Lógica Proposicional
RAA = Redução ao Absurdo
STEM = Ciência, Tecnologia, Engenharia, Matemática
Capítulo 1 - Introdução
“A Matemática é a Rainha das Ciências, e a teoria dos números é a rainha da matemática.” — Carl Friedrich Gauss & “Os geeks dominam o mundo”
Resumo: Neste capítulo, você aprenderá que a prova é um aspecto inegociável da disciplina matemática e que não se faz progresso em matemática sem ela. Enfatizaremos aqui a verdade de que a prova e a arte de provar são componentes significativos da empreitada matemática.
1.1 O Mundo Virou Matemática
Finalmente o mundo está se atualizando.
Nos tempos antigos, você estudava disciplinas como Estatística ou Sistemas de Suporte à Decisão e, naquela época, você sabia bem que cursar disciplinas como essas parecia um exercício fútil. Essas disciplinas, você pensava, eram aquelas que você encontrava dentro da academia, mas nunca eram relevantes em outro lugar, e certamente não era algo que você encontraria novamente em sua carreira adulta. Bem, para nossa surpresa, isso não é mais verdade. Hoje, o mundo comercial finalmente percebeu que há alguma utilidade nas temidas disciplinas de Estatística, afinal. A Pesquisa Operacional não está mais confinada ao uso militar; muitas empresas, especialmente nas indústrias de logística ou transporte de cargas, a utilizam frequentemente. Você já deve ter ouvido falar de cargos como Analista de Dados, Cientista de Dados e Quant Financeiro. Agora, existem até Quants de Marketing! Todos nós sabemos agora que essas posições têm algo a ver com Matemática e Estatística.
Não há dúvida de que a Matemática está invadindo muitas disciplinas e, agora, até mesmo Biologia e Psicologia estão se tornando mais matemáticas. Portanto, seja quem for, se você está obtendo um diploma em ciências, saúde, finanças ou economia, provavelmente encontrará disciplinas com mais conteúdo matemático do que jamais esperaria, disciplinas que podem até exigir que você prove teoremas. Para ilustrar, pegue, por exemplo, um livro de Econometria como o de Wooldridge [1] e você verá que o autor se dedica a provar teoremas manualmente. Da mesma forma, o autor de um livro sobre Finanças como o de Wilmott [2] apresenta algumas provas, embora estas apareçam muito mais tarde no livro. Assim, onde há matemática, é fato que também há provas, por padrão. Portanto, é demonstravelmente uma habilidade útil saber como provar teoremas, mesmo que você não seja um estudante de matemática!
Por que os matemáticos provam? Por que fazem esse tipo de coisa? Por que isso é importante na matemática? Vamos discutir isso.
1.2 A Cultura e Tradição das Provas
Primeiramente, o que é uma prova matemática afinal? Resumidamente, uma prova matemática é um argumento composto por uma série de afirmações, cujo objetivo é convencer sobre a veracidade de uma declaração matemática. Quando algo é verdadeiro, ele pode ser usado para benefício humano. Uma prova começa de uma premissa assumida e procede por dedução até chegar finalmente à conclusão. Para simplificar, quando dizemos “prova”, queremos dizer prova ou argumento matemático.
Por que os matemáticos têm essa cultura de provar?
Para descobrir, temos que olhar para a natureza e a história da matemática. Primeiramente, é importante lembrar que a matemática, como disciplina, lida não apenas com números, mas, como você percebeu após a escola primária, fala sobre objetos e estruturas. Esses objetos e estruturas, em geral, podem ser abstratos. Os números são apenas um desses objetos de que ela fala. Ela também fala sobre a relação desses objetos e estruturas. As afirmações feitas sobre esses objetos e estruturas devem ser verdadeiras e podem ser refutadas por meio de contraexemplos. De todas as disciplinas da vida que podemos estudar, a matemática é a única que
tem um entendimento dogmático da verdade objetiva. Enquanto os outros ramos do conhecimento nas ciências procedem indutivamente, a matemática avança dedutivamente. Embora não mergulhemos na filosofia da verdade neste livro, é importante lembrar que, desde a sua história inicial, a matemática escrita sempre esteve preocupada com objetos e estruturas que são úteis e relevantes para o nosso mundo. Além dos números, a matemática lida com entidades como círculos, linhas, triângulos, quadrados, áreas e volumes, entre outras coisas — aquelas que encontramos na natureza e em invenções humanas. Quando falamos sobre essas entidades, convidamos as pessoas a confirmar ou provar a validade do que dizemos. Da mesma forma, uma prova é uma demonstração de que o que dizemos sobre um assunto é válido e verdadeiro.
Em segundo lugar, existe a tradição entre os matemáticos que valoriza a prova em seu ofício. Os estudiosos agora acreditam que a matemática indiana é anterior à matemática grega, já por volta de 1000 a.C. Essas ideias matemáticas se espalharam para o Oriente Médio, China e Europa. Quando se trata de prova, documentos arqueológicos apontam para a cultura ocidental, principalmente da Grécia antiga, onde as primeiras provas matemáticas podem ser encontradas. O personagem típico que vem à mente é o geômetra chamado Euclides, com seu texto chamado Os Elementos. Ali ele tratou de objetos geométricos usando o método axiomático (que definiremos mais tarde) para provar afirmações. Com novos documentos históricos sendo descobertos recentemente, estudiosos da história da matemática agora acreditam que a arte de provar declarações matemáticas também era praticada em culturas antigas orientais e outras não europeias, como o Irã, onde matemáticos islâmicos trabalhando em álgebra provavam teoremas que usamos hoje. Existem também certos textos chineses antigos que contêm o que pode ser considerado como provas matemáticas [3]. Portanto, essa tradição de prova pode ser encontrada em todas as civilizações, sejam elas do Oriente ou do Ocidente. A prova é um resultado da natureza das coisas em matemática.
Quer gostemos ou não, a tradição de provar declarações matemáticas está profundamente enraizada na disciplina da matemática. A tradição remonta a milhares de anos, cerca de 2.500 anos, e essa tradição é difícil de quebrar. É mais antiga do que nós e provavelmente continuará muito depois de termos partido. Talvez tome várias formas no futuro, como o uso de computadores para nos ajudar nas tarefas de prova, mas os estudiosos da matemática acreditam que o espírito da prova sobreviverá e continuará da mesma maneira que no passado.
1.3 As Provas Afiaram Habilidades de Pensamento
Ter concluído a matemática do ensino médio teria convencido o leitor de que a matemática é um trabalho árduo e exige muito investimento intelectual e energia. As soluções podem ser difíceis, nem sempre evidentes, podem ser longas e envolver tentativa e erro até que um problema seja resolvido.
É uma disciplina odiada e eu não nego, principalmente porque exige muito tempo do aluno. Se formos honestos, isso às vezes produz raiva por parte do aluno. No entanto, essa dificuldade é bem recompensada com o benefício de que a pessoa que se exercita nisso ganha força e resistência para pensar em situações árduas de resolução de problemas. Sim, a disciplina do pensamento crítico implícita no estudo da matemática é aplicável a situações da vida recontextualizadas. Ajuda na tomada de decisões baseadas em informações.
Então, encorajo o leitor a seguir com o material aqui, ser paciente consigo mesmo e trabalhar com perseverança o conteúdo apresentado neste humilde livro. Eventualmente, tudo fará sentido, a ficha cairá e você se sentirá confortável com isso. Espero que o que está escrito aqui forneça direções sobre como abordar o processo de resolver problemas de prova matemática.
Comentário
Lembre-se de nossas partes, Parte I e Parte II. Os próximos capítulos agora tratarão dos conceitos principais. Para dar um relato mais detalhado, levantamos o seguinte plano novamente.
1. Na Parte I, vamos nos fundamentar primeiro com definições, o que queremos dizer por teorema, o que é uma prova com uma breve abordagem sobre falácias. Depois disso, estaremos em posição de falar sobre os tipos de declarações de teoremas. Após a classificação, teremos tempo para explorar alguns princípios fundamentais de fazer provas e isso nunca pode ser realizado sem a compreensão rudimentar da lógica e sua prática. Só então podemos oferecer abordagens para usar vários métodos conhecidos de provar teoremas. Aqui daremos exemplos de como eles são usados. Observamos que este é um trabalho de base rápida que visa fornecer ao leitor uma visão geral de como abordar a prova de formas típicas de declarações matemáticas.
2. Na Parte II, aplicamos o que aprendemos na Parte I e damos ao aluno a chance de passar pela matemática aplicada à lógica. Então aplicamos matemática à lógica ou lógica à própria lógica! Esta parte é mais formal e o aluno terá mais oportunidades de fazer provas em ação. Primeiro, aplicaremos as habilidades da parte anterior ao estudo da Lógica Proposicional (LP). Isso dará ao leitor um campo de prática para exercitar seus conhecimentos. O ponto principal aqui é que o conhecimento dos princípios da LP é suficiente para provar a maioria das declarações matemáticas. No entanto, uma maneira mais extensa de lidar com muita matemática, como em Cálculo ou Análise, é o conhecimento da Lógica de Primeira Ordem (LPO). Em ambos os casos, mostraremos ao leitor uma compreensão básica do método de “resolução”, um processo para verificar se uma declaração pode ser validamente concluída a partir de um conjunto de premissas.
Referências:
1. J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics, 5ª ed. (South Western Cengage Learning, 2013)
2. P. Wilmott, Paul Wilmott on Quantitative Finance (Wiley, Inglaterra, Reino Unido, 2006)
3. K. Chemla, The History of Mathematical Proof in Ancient Traditions (Cambridge University Press, 2012).
Capítulo 2 - Teoremas e Provas
“A reputação de um matemático repousa no número de provas ruins que ele deu.” — Abram S. Besicovitch
Resumo: Existem diferentes classificações de declarações matemáticas, como proposições, afirmações, lemas, corolários e teoremas. Discutimos essas classificações neste capítulo, juntamente com as propriedades ideais das provas, como validade, rigor e solidez.
2.1 O Que São Teoremas?
Primeiramente, o que é um teorema? Definimos um teorema como uma declaração proposicional que é considerada verdadeira dentro do domínio de um sistema matemático. Mas, essa é a questão, qual é a nossa garantia para dizer que tal declaração é verdadeira? Os teoremas avançam nosso corpo de conhecimento em relação ao sistema matemático sob nosso estudo e, esperançosamente, são aplicáveis a algumas situações no mundo real onde nos movemos e circulamos. Os teoremas são destinados a serem aplicados. Eles só são úteis se forem verdadeiros, pois é perigoso acreditar e trabalhar em algo que é falso. Não funcionará e, portanto, não será interessante. Assim, estamos interessados apenas em teoremas verdadeiros e devemos estar convencidos de sua veracidade. É aí que entram as provas.
Então, os teoremas são proposições ou declarações consideradas verdadeiras. Você deve ter encontrado alguns deles em sua matéria de geometria ou álgebra do ensino médio. No entanto, existem outros termos usados para descrever proposições matemáticas que são verdadeiras, e aqui estão alguns:
1. Lema—é uma proposição que é usada para auxiliar o escritor da prova a provar um teorema mais importante e significativo. Você pode pensar nisso como um teorema de menor impacto.
2. Corolário—é uma proposição que exige apenas algumas linhas de argumentos de prova para ser provada. Alguns autores também usam a palavra “proposição” para nomear esse tipo de declaração.
Fig. 2.1 - O Teorema de Pitágoras
A escolha de nomear uma proposição é realmente subjetiva e pode ser uma questão de gosto. O nome “teorema” é geralmente reservado para proposições que têm um grande impacto ou revelação, mas o que é "grande" é discutível. Assim, a forma como as proposições são nomeadas pode ser um exercício filosófico, tanto que alguns matemáticos optam pelo termo simplesmente como proposições em vez de teoremas. No entanto, os nomes acima e a forma como os descrevemos aqui podem ser considerados o modo padrão de nomear declarações verdadeiras. Lembre-se de que você vê essas proposições no contexto de um trabalho, manuscrito, livro didático, monografia, etc. Portanto, elas fluem da maneira como o matemático ou o autor da prova organizou seu material.
Exemplo
Agora forneceremos alguns exemplos de teoremas.
O primeiro da nossa lista é o Teorema de Pitágoras encontrado abaixo:
Teorema 2.1.1 (Teorema de Pitágoras) Dado um triângulo retângulo como mostrado na Fig. 2.1, então
Lembre-se do que dissemos sobre os teoremas serem úteis? O Teorema de Pitágoras é um teorema poderoso que tem visto milhares de aplicações tanto em outros ramos da própria matemática, como Análise (Cálculo), quanto fora dela. Ele penetra quase todos os ramos da Física. Tem sido especialmente utilizado em ramos da Engenharia, como na topografia (geodésica), navegação (marítima) e construção (civil e estrutural). É digno de ser chamado de Teorema e, surpreendentemente, foi descoberto há 2.500 anos.
O próximo teorema não é tão familiar para nós. Ele é retirado do ramo da matemática chamado Teoria dos Números. Este ramo da matemática é muito influente na criptografia, sendo útil na área de segurança digital. No entanto, é menos famoso e não muito revelador.
Teorema 2.1.2 (1º Teorema de Euclides) Seja p um número primo e sejam a e b números. Se p divide a × b perfeitamente, então a ou b (ou ambos) é divisível por p perfeitamente.
Pensando um pouco mais, é bastante trivial e até óbvio.
O exemplo acima é apenas uma ilustração de onde a comunidade de matemáticos difere na nomeação de proposições, pois alguns chamam essa declaração de Lema de Euclides, não o 1º Teorema de Euclides.
Assim, alguns matemáticos hoje evitam chamar tais declarações de “teoremas” e as chamam com outra palavra, como “afirmações” ou “proposições”, como mencionamos algumas páginas atrás. Uma coisa ainda é certa, qualquer que seja o rótulo que usam, a declaração ainda precisa ser verdadeira e, portanto, precisa ser demonstrada como tal.
No que se segue, daremos um passo atrás para discutir primeiro os argumentos, que são os fundamentos da prova. Isso nos dará uma base melhor para que os capítulos subsequentes se tornem mais fáceis de absorver.
2.2 O Que É um Argumento?
Usamos um conjunto de declarações para convencer as pessoas da razoabilidade de nossa posição ou tese. Damos as razões pelas quais consideramos tal declaração verdadeira. Quando fazemos isso, estamos formando um argumento. Em um argumento, fornecemos justificativas de por que nossa posição sobre um assunto deve ser aceita pelos demais. Aqui está um exemplo clássico que já vimos muitas vezes antes, que é a afirmação de que Sócrates é mortal, que pode ser argumentada da seguinte forma:
Dizemos que o argumento acima é válido porque segue as regras de raciocínio com respeito à forma como o argumento é estruturado. As premissas sustentam a conclusão, ou a conclusão decorre das premissas. No entanto, nem todos os argumentos válidos são adequados para convencer os possíveis inquiridores da razoabilidade da posição ou afirmação de alguém. O argumento também deve ser sólido. Isso significa que todas as premissas são verdadeiras de fato. Portanto, o argumento acima é válido e sólido porque todas as premissas correspondem aos fatos. Ninguém, de fato, vive para sempre, e Sócrates, segundo testemunhas, foi um ser humano que foi observado e as testemunhas atestam que ele realmente morreu. A história diz que ele bebeu veneno. Veja a Fig. 2.2 [1].
[1]: Créditos: Sting, CC BY-SA 2.5 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5, via Wikimedia Commons.
Se a prova de um teorema não for imediatamente aparente, pode ser porque você está tentando a abordagem errada (alerta de sarcasmo ligado ;-). Abaixo estão alguns métodos eficazes de prova que podem te direcionar na direção certa [a].
[a]: Isto foi compilado por David Pleacher, de Dick A. Wood em The Mathematics Teacher, novembro de 1998, Steve Phipps e este que vos fala.
1. Prova por Evidência: “A prova é tão clara que não precisa ser mencionada.”
2. Prova por Acordo Geral: “Todos a favor? ….”
3. Prova por Imaginação: “Bem, vamos fingir que é verdade.”
4. Prova por Conveniência: “Seria muito bom se fosse verdade, então ….”
5. Prova por Necessidade: “É melhor que seja verdade ou toda a estrutura da matemática desmoronará.”
6. Prova por Plausibilidade: “Parece bom, então deve ser verdade.”
7. Prova por Intimidação: “Não seja estúpido, é claro que é verdade.”
8. Prova por Falta de Tempo Suficiente: “Devido à limitação de tempo, deixarei a prova para você.”
9. Prova por Adiamento: “A prova para isso é tão longa e árdua que está no apêndice.”
10. Prova por Acidente: “Ei, o que temos aqui?”
11. Prova por Insignificância: “Quem realmente se importa?”
12. Prova por mumbo-jumbo: $\forall \epsilon > 0$, $\exists$ uma correspondente $\delta > 0$ tal que $f(x) - L < \epsilon$ sempre que $x - a < \delta$.
13. Prova por Profanação: (exemplo omitido)
14. Prova por Definição: “Vamos definir como sendo verdade.”
15. Prova por Tautologia: “É verdade porque é verdade.”
16. Prova por Plágio: “Como vemos na página 238...”
17. Prova por Referência Perdida: “Eu sei que vi isso em algum lugar...”
18. Prova por Cálculo: “Esta prova requer cálculo, então vamos pular.”
19. Prova por Terror: Quando a intimidação falha...
20. Prova por Falta de Interesse: “Alguém realmente quer ver isso?”
21. Prova por Ilegibilidade: “$ \odot \ \beta \ \Upsilon \ \mathrm{\Sigma} $.”
22. Prova por Lógica: “Se está na folha de problemas, então deve ser verdade.”
23. Prova por Regra da Maioria: Usada apenas se o Acordo Geral for impossível.
24. Prova por Escolha Inteligente de Variáveis: “Seja A o número tal que esta prova funcione.”
25. Prova por Tesselação: “Esta prova é exatamente igual à última.”
26. Prova pela Palavra Divina: “E o Senhor disse, ‘Que seja verdade’, e assim aconteceu.”
27. Prova por Teimosia: “Não me importa o que você diz! É verdade!”
28. Prova por Simplificação: “Esta prova se reduz à afirmação, 1 + 1 = 2.”
29. Prova por Generalização Apressada: “Bem, funciona para 17, então funciona para todos os reais.”
30. Prova por Decepção: “Agora todos virem de costas ….”
31. Prova por Súplica: “Oh, por favor, que seja verdade.”
32. Prova por Analogia Ruim: “Bem, é como ….”
33. Prova por Evasão: Limite da Prova por Adiamento conforme t se aproxima do infinito.
34. Prova por Design: “Se não é verdade na matemática de hoje, invente um novo sistema no qual seja.”
35. Prova por Intuição: “Eu simplesmente tenho um pressentimento ….”
36. Prova por Autoridade: “Bem, Bill Gates diz que é verdade, então deve ser.”
37. Prova por Afirmação Vigorosa: “E EU REALMENTE QUERO DIZER ISSO!”
38. Prova pelo Teorema Q.Q.I.S.M.: “Qualquer Quele Idiota Sabe Isso!”
39. Prova por gesticulação vigorosa: Funciona bem em uma sala de aula.
40. Prova por sedução: “Convença-se de que isso é verdade!”
41. Prova por evidência acumulada: “Uma longa e diligente busca não revelou um contraexemplo.”
42. Prova por Bla Bla Bla ou Prova por Verbosidade: “bla bla bla … bla bla bla … bla bla bla … finalmente mostramos o que é necessário.”
43. Prova por Intervenção Divina: “Então ocorre um milagre ….”
Você pode encontrar listas mais engraçadas e mais exaustivas do que as acima se procurar vigorosamente na Internet. Sério, esse tipo de prova pode ser visto em trabalhos de estudantes. Os erros mais comuns cometidos pelos alunos atuais estão no uso da intuição em seus argumentos de prova. O uso da intuição é bom, pois, de fato, é o que os matemáticos normalmente empregam antes de formalizarem sua compreensão de um domínio de problema. No entanto, isso é apenas o começo e não é onde tudo termina. O problema com isso é que o que é intuitivo para uma pessoa pode não ser intuitivo para outra. Esta também é a razão pela qual argumentar que algo é óbvio ou trivial de provar não impressiona certos professores de matemática. Por quê? Porque o que você pode considerar óbvio ou trivial pode ser visto como uma fuga da verdadeira tarefa de provar um teorema. Quando invocamos o argumento da obviedade ou trivialidade, devemos fazê-lo sob a condição de que seja obviamente óbvio e trivial para o leitor da prova, seu professor ou instrutor. Então, em certa medida, vimos provas por A.F.K.T. (#38 acima), generalizações apressadas, plausibilidade, prova por exemplo ou analogia, etc., sendo oferecidas sem sucesso.
Uma armadilha comum cometida por estudantes ansiosos por detalhes é cair na prova por verbosidade. Os alunos frequentemente assumem erroneamente que, simplesmente porque escreveram muitas palavras, têm direito a uma nota máxima. Errado! Existem provas que podem ser bastante longas, no entanto, quando uma prova é muito longa, ela perde sua eficácia e tais provas eventualmente perdem o leitor ao longo do caminho. O velho provérbio chinês “mais conversa, mais erro” se aplica às provas também. Quanto mais longa a prova, maior a possibilidade de embutir declarações errôneas na prova. Em vez de convencer, a deliberação prolixa pode acabar confundindo o leitor.
Além disso, o que os professores e professores detestam é uma prova em que o aluno exige que eles preencham os detalhes em nome do aluno. É certamente muito irritante quando o aluno assume que o leitor da prova entende o que o aluno está tentando dizer. Os alunos cometem o erro de supor que seus professores podem espiar em suas cabeças. Um aluno que faz o professor adivinhar o que ele queria dizer está pedindo problemas. Isso é extremamente irritante e provavelmente incorrerá em penalidades na perda de pontos.
Devemos lembrar profundamente que o objetivo da prova é convencer a nós mesmos e o avaliador da prova sobre a veracidade ou validade da declaração proposta, ou seja, o teorema. Devemos aplicar autocrítica à nossa prova e garantir que ela consiga convencer.
2.3.2 Válido e Sólido
Uma razão pela qual as provas às vezes não convencem é porque são muito informais em seus argumentos. Em contraste com provas fracas ou pouco convincentes, existe o que se chama de provas rigorosas. Agora, esse conceito pode ser algo vago—os matemáticos sabem identificar uma quando a veem, mas não sabem como descrevê-la em palavras—talvez sejam tomados por sua beleza e elegância. Deixe-me citar matemáticos renomados sobre isso e mostrar como essa questão é tão emotiva:
Ele [o matemático ideal] deposita sua fé na prova rigorosa; acredita que a diferença entre uma prova correta e uma incorreta é uma diferença inconfundível e decisiva. Ele não consegue pensar em uma condenação mais condenável do que dizer de um aluno: “Ele nem sequer sabe o que é uma prova”. No entanto, ele é incapaz de dar uma explicação coerente do que se entende por rigor, ou o que é necessário para tornar uma prova rigorosa. Em seu próprio trabalho, a linha entre prova completa e incompleta é sempre um pouco vaga e muitas vezes controversa [2].
[2]: Phillip J. Davis e Reuben Hersh, The Ideal Mathematician, [http://users-cs.au.dk/danvy/the-ideal-mathematician.pdf](http://users-cs.au.dk/danvy/the-ideal-mathematician.pdf).
Tendo dado a impressão de que essa questão é tão subjetiva, no entanto, devo tentar dar a você uma noção operacional do que é, caso contrário, não haverá melhoria em nossa situação. Uma prova rigorosa fornece argumentos convincentes para o teorema em questão. Voltando à nossa descrição de uma prova que mencionamos brevemente no início deste capítulo, dissemos que é um argumento composto por sequências de afirmações que partem de uma premissa. Para que uma prova seja válida e, eventualmente, rigorosa, cada afirmação deve ser justificável. O que queremos dizer é que estamos nos apoiando em bases razoáveis para fazer as afirmações que acabamos de fazer. Queremos dizer que, quando introduzimos uma afirmação, essa afirmação procede legitimamente de acordo com regras de raciocínio bem estabelecidas e acordadas. Enumeramos brevemente as características das afirmações encontradas em uma prova rigorosa. Devemos lembrar que as afirmações são o mais explícitas possível. Aqui estão as características das afirmações subsequentes após fazer a primeira afirmação, que é a premissa:
1. Elas podem seguir de uma definição.
2. Elas podem seguir de um axioma.
3. Elas podem seguir de resultados anteriores ou proposições/teoremas previamente provados.
4. Elas podem seguir de uma aplicação das regras de lógica ou dedução.
5. Elas podem não seguir nenhuma outra regra além das acima.
Os itens acima precisam de um pouco de elaboração. Por definições, queremos dizer uma descrição precisa de um conceito ou noção ou um termo no assunto matemático em discussão. Por um axioma, queremos dizer uma declaração que é obviamente verdadeira ou mantida ou acreditada como sempre verdadeira.
Aqui está um exemplo:
Dado dois pontos em um plano, sempre podemos desenhar uma linha reta que passa por eles.
Isso é bviamente verdade. É um axioma encontrado na Geometria Plana [3].
[3]: Voltaremos a essa afirmação mais tarde.
Olhando para a lista acima, cada movimento que fazemos, ou seja, de uma afirmação para a próxima, procede em bases “legais”. Estamos dizendo que qualquer afirmação que façamos para avançar até a conclusão que queremos provar deve seguir uma das regras listadas. Não temos permissão para afirmar uma declaração que não se encaixe em nenhuma dessas características.
Em matemática, provas válidas também são provas sólidas. Por quê? Porque as definições afirmam que, quando um conceito se encaixa em uma propriedade, temos o direito de chamá-lo pelo seu nome e, portanto, deve ser verdadeiro. Axiomas também são declarações que são obviamente e intuitivamente verdadeiras. Pode-se observar e experimentar um axioma e testar se ele é verdadeiro, como o que demos sobre dois pontos e uma linha. As regras da lógica, que elaboraremos mais adiante, também são intuitivamente verdadeiras. Por causa disso, tudo em uma prova válida é verdadeiro, então todas as declarações também são sólidas. Esta é a razão pela qual a solidez nas provas não é frequentemente discutida, porque, em virtude do processo, todas as provas válidas também são provas sólidas.
2.3.3 A Notação Desempenha um Papel
Aliviando o cérebro de todo o trabalho desnecessário, uma boa notação o libera para se concentrar em problemas mais avançados. — Alfred North Whitehead
Você já deve saber a essa altura que nós, seres humanos, usamos notações ou símbolos para representar coisas ou declarações. Você provavelmente possui um dispositivo móvel, então provavelmente também usou emojis? Como estamos lidando com argumentos, às vezes é muito mais rápido dizer coisas usando símbolos ou sinais em vez de palavras. Na maioria das vezes, reconhecemos algo imediatamente quando vemos, em vez de texto que lemos. Por exemplo, já encontramos o π antes. Isso é muito mais curto do que escrever 3.1416 cada vez que precisamos falar sobre esse valor em nossa discussão. Se a prova sempre fez parte da cultura e tradição matemática, então o uso de notações também. Os argumentos podem tender a ser longos se usarmos a linguagem natural em nossa prova e as notações reduzem o uso da linguagem natural para eficiência. Através do uso de símbolos notacionais, somos capazes de escrever pequenos textos, mas ao mesmo tempo transmitir muito sem a necessidade de usar uma proliferação de palavras. Consequentemente, o uso de símbolos em geral ajuda a tornar uma prova convincente. Torna-se uma parte natural de uma prova formal. De certa forma, isso é o que torna uma prova não apenas rigorosa, mas elegante ou “bonita”. Dizer muito pouco e, no entanto, significar muito é uma qualidade na matemática que a torna atraente para os matemáticos. Para alguns, essa é a razão pela qual eles são matemáticos hoje.
À medida que avançamos nos capítulos deste trabalho, encontraremos um bom uso de símbolos notacionais. Eles ajudam a entender o que estamos falando e também tornam a mente atenta e analítica.
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