Métodos Computacionais em Economia Marxista - Cogliano e Veneziani

Cogliano, J. F., Veneziani, R., & Yoshihara, N. (2021). Computational methods and classical-Marxian economics. Journal of Economic Surveys, 1–40. https://doi.org/10.1111/joes.12459

Texto original em inglês aqui.

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO

2. ARCABOUÇO BÁSICO E NOTAÇÃO

2.1 Tecnologia

2.2 Agentes

2.3 Preços e valores

3. TEORIA DE PREÇO E VALOR

3.1 Teoria do capital

3.2 Dinâmica clássica

    3.2.1 Dinâmica cruzada-dual

    3.2.2 Abordagens baseadas em agentes para a teoria do valor-trabalho (LTV)

3.3 Econofísica clássico-marxiana

4. DESIGUALDADE SISTÊMICA

4.1 Equilíbrio geral computável e o debate sobre o cálculo socialista

4.2 Socialismo e social democracia

4.3 Abordagens computacionais para exploração e classe

5. MUDANÇA TÉCNICA E LUCROS

5.1 A queda da taxa de lucro

5.2 Ciclos

6. CONCLUSÕES

RESUMO

Este artigo faz uma análise das abordagens computacionais da economia clássico-marxista. Essas abordagens incluem uma variedade de técnicas, como simulações numéricas, modelos baseados em agentes e métodos de Monte Carlo, abrangendo muitas áreas dentro da tradição clássico-marxista. Concentramo-nos em três temas principais na economia clássico-marxista, a saber, teoria de preços e valor; desigualdade, exploração e classes; e mudança técnica, lucratividade, crescimento e ciclos. Mostramos que métodos computacionais são especialmente adequados para capturar certos elementos-chave da visão da abordagem clássico-marxista e podem ser usados com êxito para fazer progressos significativos no estudo de tópicos clássico-marxistas.

1. INTRODUÇÃO

A economia computacional concentra-se em modelos matemáticos analisados por meio de computadores. Tradicionalmente, a economia tem contado com a computação para "análise empírica de dados e cálculo de equilíbrios de modelos convencionais" (Judd, 2006, p. 883). A economia computacional constrói sobre essa tradição para estudar questões econômicas tanto analíticas quanto estatísticas que podem não ser facilmente abordadas com as ferramentas padrão de análise.

Os modelos computacionais podem ser estilizados e simples ou altamente detalhados e complexos. Quando incorporam uma estrutura microeconômica, as simulações frequentemente começam especificando um conjunto de agentes heterogêneos e regras comportamentais, que podem variar de ações simples tomadas por agentes de forma isolada a decisões complexas que requerem interação com outros agentes e uma base informacional complexa. No último caso, o exercício de simulação assume as propriedades de modelos baseados em agentes completos (ABMs).

Nas últimas décadas, a economia computacional viu avanços tremendos. No entanto, abordagens baseadas em simulações e ABMs não estão na vanguarda da economia convencional. Isso talvez não seja surpreendente. O cerne da economia convencional normalmente se concentra nos estados de equilíbrio de modelos com agentes otimizadores voltados para o futuro, nos quais os resultados macroeconômicos podem ser inferidos simplesmente agregando o comportamento individual (por exemplo, graças à suposição do agente representativo) [1]. Nesses modelos, os mercados aparecem como um mecanismo institucional neutro que coordena a atividade econômica e tende a produzir alocações eficientes, enquanto os resultados distributivos são impulsionados por determinantes exógenos. Essa ênfase particular no "núcleo convencional" da economia se baseia em uma visão da economia que, por construção, evita a necessidade de simulações, recorrendo a essas abordagens apenas quando todas as outras falham.

[1]: Consulte Kirman (1992) para uma discussão sobre os problemas com a suposição do agente representativo.

Simulações e modelos baseados em agentes (ABM) não estão na vanguarda das abordagens modernas inspiradas pelos economistas clássicos e Marx. Mais precisamente, embora várias contribuições na tradição clássica e marxista tenham adotado técnicas computacionais para analisar modelos macroeconômicos, especialmente macrodinâmicas, a literatura computacional que explora o núcleo da economia política clássica e marxista - em particular, a teoria de preços e valor, e a teoria da distribuição - é relativamente recente, e o pleno potencial das técnicas computacionais ainda está por ser realizado.

O desenvolvimento relativamente tardio é explicado pela predominância de duas posturas metodológicas diferentes na literatura recente. Após a publicação da obra "Production of Commodities by Means of Commodities" de Piero Sraffa e o ressurgimento da economia marxista matemática na década de 1970, um grande número de autores adotou ferramentas analíticas convencionais para explorar as teorias clássicas de preço, valor e distribuição, a fim de desenvolver um arcabouço teórico alternativo com o mesmo nível de generalidade do núcleo convencional [2].

[2]: A literatura é muito vasta para uma lista abrangente de contribuições. Uma seleção ilustrativa, mas longe de ser exaustiva, inclui Okishio (1963), Morishima (1973), Roemer (1981, 1982), Kurz e Salvadori (1995).

A virada matemática na economia clássica e marxista na década de 1970 não passou sem críticas. Segundo os críticos, ela deslocou o foco de questões conceituais mais amplas para detalhes técnicos relativamente menores. Além disso, alguns autores argumentaram que as teorias clássicas, especialmente a abordagem de Marx, não são facilmente passíveis de formalização matemática (Fine & Harris, 1979; Fine & Saad-Filho, 2010), enquanto outros levantaram dúvidas sobre o uso de métodos formais na economia (Lawson, 2003).

As duas amplas posturas metodológicas esboçadas aqui são muito diferentes — de fato, contraditórias — e, no entanto, contribuíram conjuntamente para relegar os métodos computacionais para as margens da economia clássica e marxista, seja defendendo a adoção de modelos matemáticos padrão em forma fechada ou insistindo nas deficiências de todos os modelos formais. Isso é surpreendente, já que, como esta pesquisa mostra, as simulações computacionais são particularmente adequadas para capturar certos elementos-chave da visão dos autores clássicos e de Marx, e, inversamente, o que pode ser chamado de abordagem clássico-marxiana oferece sólidos fundamentos teóricos para os métodos computacionais [3].

[3]: Um revisor anônimo sugeriu que, no caso dos modelos baseados em agentes (ABMs), pelo menos parte da resistência à adoção de ferramentas computacionais pode refletir outra disputa metodológica relacionada à utilidade do individualismo metodológico dentro da economia heterodoxa. Pois os ABMs exigem começar com agentes, ou até mesmo autômatos, e as regras que regem sua interação microscópica. A resistência às abordagens individualistas provavelmente está enraizada, pelo menos em parte, na crença de que existem características e regularidades macroeconômicas que não podem ser racionalizadas em termos de agentes representativos, mas isso é uma característica, não uma falha, de alguns ABMs.

Certamente, as teorias desenvolvidas por autores tão diversos quanto Quesnay, Smith, Ricardo ou Marx são muito heterogêneas em termos de escopo e conteúdo. Marx ele mesmo via sua própria teoria como fornecendo uma crítica à economia política. No entanto, uma longa tradição na economia destacou a existência de algumas semelhanças cruciais em termos conceituais e metodológicos que definem uma abordagem clássico-marxiana e a distinguem das abordagens neoclássicas posteriores [4].

[4]: A literatura que enfatiza a existência de uma abordagem clássico-marxista inclui, por exemplo, Meek (1956, 1961), Garegnani (1970, 1976, 1984), Dobb (1973, 1990), Kurz and Salvadori (1995, 2003), Foley (2003, 2006, 2011, 2016, 2018, 2020), Cogliano (2011, 2018), Kurz (2010), Shaikh (2016), Cogliano et al. (2018).

Vários elementos de continuidade na economia política clássica e marxiana têm sido enfatizados na literatura. Central em todos os autores clássicos e em Marx estão os conceitos de valor, classe e capital, e, como veremos a seguir, a abordagem clássico-marxiana desses conceitos é fundamentalmente diferente da abordagem neoclássica [5]. Uma abordagem clássico-marxiana do crescimento e da macrodinâmica pode ser identificada (Dutt, 2016, 2017; Flaschel, 2010; Foley et al., 2019; Tavani & Zamparelli, 2017). "Os economistas clássicos e Karl Marx geralmente conceberam a produção como um fluxo circular em que as mercadorias são produzidas por meio de mercadorias" (Kurz, 2008, p. 94). Os autores clássicos e Marx compartilham uma visão amplamente similar de distribuição e lucros: "A teoria política econômica clássica do valor intersecta [a visão de Marx] do materialismo histórico em vários pontos. Porque o salário na sociedade capitalista é menor do que o valor que os trabalhadores produzem, o lucro capitalista em um nível social representa a apropriação de uma produção excedente de classe" (Foley, 2011, p. 19).

[5]: Assim como Marx, os autores clássicos "investigaram a estrutura interna real das relações de produção burguesas, em oposição aos economistas vulgares que apenas se debatem dentro da estrutura aparente dessas relações" (Marx, 1976, pp. 174-175, nota de rodapé 34).

Além de conceitos, teorias e tópicos específicos, no entanto, para os propósitos desta pesquisa, alguns aspectos comuns do que pode ser chamado de visão clássico-marxiana da economia devem ser brevemente delineados aqui, o que é particularmente relevante do ponto de vista computacional [6].

[6]: Para uma discussão mais abrangente, consulte, por exemplo, Foley (2003, 2011) e Shaikh (2016).

Na visão clássico-marxiana, os fenômenos macroeconômicos e o comportamento individual estão ligados de maneiras complexas e bidirecionais. Embora as decisões individuais importem, as preferências e crenças individuais são influenciadas por estruturas sociais e posições sociais, e a classe é uma unidade de análise relevante. Os atores individuais contam com informações agregadas ao tomar suas decisões, mas essas informações também são influenciadas por suas decisões. Assim, o comportamento agregado da economia não é concebido como a soma das ações individuais, e os resultados macroeconômicos não são impulsionados por leis naturais, nem se presume que sejam justos ou ótimos em qualquer sentido relevante. A distribuição de renda e riqueza é moldada por estruturas institucionais, normas sociais e relações de poder. O desemprego persistente e as crises recorrentes são inerentes às economias capitalistas, que são caracterizadas por inovações tecnológicas incessantes, resultando em mudanças estruturais e desequilíbrios que interagem com classes e distribuição [7]. Os métodos computacionais são particularmente adequados para analisar esses fenômenos, que muitas vezes não se prestam a soluções em forma fechada, e para incorporar pressupostos clássico-marxianos.

[7]: Sobre esse aspecto específico, consulte também Kurz (2010).

A abordagem clássico-marxiana adota uma visão evolutiva de longo prazo das dinâmicas capitalistas, na qual as tendências de longo prazo das economias capitalistas são o resultado de uma série de dinâmicas locais e de curto prazo complexas (Foley, 2003, 2011; Kurz & Salvadori, 1995; Shaikh, 2016). Esta visão abrangente da economia clássico-marxiana se assemelha muito às visões modernas sobre sistemas adaptativos complexos, ou ciência da complexidade (Colander, 2000; Matthews, 2000; Arthur, 2006; Foley, 2003; Miller and Page, 2007). A teoria da complexidade analisa "sistemas altamente organizados, mas descentralizados, compostos por um grande número de componentes individuais" (Foley, 2003, p. 1). Esses sistemas atendem aos seguintes critérios:

[P]otencial para configurar suas partes componentes de uma maneira astronomicamente grande (eles são complexos), mudança constante em resposta a estímulos ambientais e ao seu próprio desenvolvimento (eles são adaptativos), uma forte tendência para alcançar padrões reconhecíveis e estáveis em sua configuração (eles são auto-organizadores), e uma evitação de estados estáveis e auto-reprodutíveis (eles são sistemas fora do equilíbrio) (Foley, 2003, p. 2).

A descrição acima se encaixa, em sentido geral, na visão central da economia clássico-marxiana. Por exemplo, a profunda heterogeneidade de agentes implicitamente presente na visão clássico-marxiana trata a economia como complexa, o feedback entre o comportamento agregado da economia e as decisões individuais é um mecanismo adaptativo, e a identificação de tendências de longo prazo como resultado de uma série de decisões e ações locais prolongadas trata a economia como auto-organizadora e inerentemente um sistema fora do equilíbrio (pelo menos em nível local ao longo de curtos períodos de tempo).

Certamente, não estamos sugerindo que métodos computacionais sejam exclusivamente adequados para modelar a economia clássico-marxiana, nem estamos afirmando que modelos padrão em forma fechada sejam fundamentalmente inadequados. Em vez disso, nossa pesquisa tem como objetivo mostrar as perspicácias obtidas especificamente graças aos métodos computacionais e o papel que os modelos computacionais podem desempenhar no desenvolvimento teórico, permitindo potencialmente a obtenção de resultados novos e inesperados.

Os economistas clássicos em si usaram o que podem ser considerados métodos computacionais rudimentares. Por exemplo, o Tableau de François Quesnay, os esquemas de reprodução de Marx no volume dois de O Capital e até suas tentativas de usar exemplos numéricos para resolver o problema da transformação no volume três de O Capital, podem ser vistos como experimentos iniciais no uso de demonstrações numéricas e maneiras de enquadrar questões econômicas como problemas computacionais. Esses exemplos, obviamente, não envolvem o uso de computadores, mas podem ser considerados os antecessores intelectuais da literatura revisada neste artigo.

Este artigo faz uma revisão das contribuições recentes que utilizam métodos computacionais para modelar diferentes aspectos da visão clássico-marxiana. O foco está nas contribuições clássico-marxianas na microeconomia e, em particular, nos tópicos centrais da teoria de preço e valor, desigualdade e exploração, e mudança técnica e lucratividade. Embora um grande número de contribuições contenha exemplos numéricos, concentramos nossa atenção nos artigos que utilizam métodos computacionais como uma ferramenta fundamental de análise empírica ou teórica.

Ao encerrar esta seção, é importante fazer uma ressalva importante. Nosso trabalho não é uma contribuição para a história do pensamento econômico e nosso objetivo não é argumentar que uma teoria clássico-marxiana plenamente desenvolvida e consistente existe. Em vez disso, seguimos uma longa tradição na economia e assumimos que uma abordagem clássico-marxiana amplamente definida pode ser identificada. Essa definição é usada como um guia para selecionar as contribuições revisadas nesta pesquisa, que se encaixam amplamente na descrição da abordagem clássico-marxiana delineada acima, mesmo que não se encaixem em todos os aspectos. No entanto, se a definição da abordagem clássico-marxiana adotada neste artigo for considerada pouco convincente, nossa pesquisa ainda deve ser de algum interesse, pois destaca uma série de descobertas importantes obtidas pelo uso de métodos computacionais para analisar vários tópicos que são centrais na economia política clássica e na economia marxiana.

O restante do artigo está estruturado da seguinte forma. A seção 2 apresenta a notação básica e o arcabouço formal de referência. A seção 3 analisa a teoria clássico-marxiana de preço e valor. A seção 4 trata de desigualdade, exploração e classe. A seção 5 discute o trabalho sobre mudança técnica e lucratividade. A seção 6 conclui.

2. ARCABOUÇO BÁSICO E NOTAÇÃO

Nesta seção, especificamos a notação básica e a estrutura de referência usadas em todo o artigo, a menos que seja declarado o contrário. Vetores e matrizes estão em negrito, e para qualquer matriz 𝐗, 𝐗^𝑇 denota sua transposta. 𝟏 = (1, ..., 1) é o vetor de soma e 𝟎 = (0, ..., 0) é o vetor nulo. Para qualquer vetor 𝐱, 𝐱̇ denota uma derivada temporal, 𝑔𝑥𝑖 denota a taxa de crescimento do 𝑖-ésimo componente e x̂ é a matriz diagonal formada a partir de 𝐱. Deixamos 𝐈 = î.

Na economia, existe um conjunto M = {1, … , 𝑚} de bens produzidos. No início de cada período de produção 𝑡 = 1, 2, …, existe um conjunto finito, P̄𝑡, de técnicas de produção lineares, ou atividades, (𝐁𝑡, 𝐀𝑡, 𝐋𝑡), onde 𝐁𝑡 é a matriz 𝑚×𝑚 de saídas produzidas, 𝐀𝑡 é a matriz 𝑚×𝑚 de entradas produzidas e 𝐋𝑡 é o vetor 1×𝑚 de trabalho eficaz (ou ajustado à habilidade). 𝐴𝑖𝑗𝑡 e 𝐿𝑗𝑡 denotam, respectivamente, as quantidades de entrada física 𝑖 e trabalho utilizadas no 𝑗-ésimo processo de produção. 𝐵𝑖𝑗𝑡 denota a quantidade do bem 𝑖 produzido no processo de produção 𝑗. A coluna 𝑖-ésima de 𝐀𝑡 é representada por 𝐀⋆𝑖𝑡.

2.1 Tecnologia

Na economia, existe um conjunto M = {1, … , 𝑚} de bens produzidos. No início de cada período de produção 𝑡 = 1, 2, …, existe um conjunto finito, P̄𝑡, de técnicas de produção lineares, ou atividades, (𝐁𝑡, 𝐀𝑡, 𝐋𝑡), onde 𝐁𝑡 é a matriz 𝑚×𝑚 de saídas produzidas, 𝐀𝑡 é a matriz 𝑚×𝑚 de entradas produzidas e 𝐋𝑡 é o vetor 1×𝑚 de trabalho eficaz (ou ajustado à habilidade). 𝐴𝑖𝑗𝑡 e 𝐿𝑗𝑡 denotam, respectivamente, as quantidades de entrada física 𝑖 e trabalho utilizadas no 𝑗-ésimo processo de produção. 𝐵𝑖𝑗𝑡 denota a quantidade do bem 𝑖 produzido no processo de produção 𝑗. A coluna 𝑖-ésima de 𝐀𝑡 é representada por 𝐀⋆𝑖𝑡.

𝐱𝑡 é o vetor 𝑚×1 que denota o nível agregado em que as várias atividades são ativadas. O vetor de saída líquida agregada é 𝐲𝑡 = (𝐁𝑡 − 𝐀𝑡)𝐱𝑡. Se cada setor produz apenas um bem (sem produção conjunta), então 𝐁𝑡 é diagonal e as atividades podem ser normalizadas de forma que 𝐁𝑡 = 𝐈 e podem ser simplesmente denotadas como (𝐀𝑡, 𝐋𝑡).

O conjunto P𝑡 contém os planos que podem ser usados em 𝑡 para produzir os 𝑚 bens. Supomos que todas as técnicas em P𝑡 sejam conhecidas por todos os agentes e possam ser ativadas por todos eles, e todas elas são de tal forma que a economia pode produzir um vetor de saída líquida não negativo. Se ocorrer mudança técnica entre 𝑡−1 e 𝑡, então P𝑡 ≠ P𝑡−1. Se (𝐁𝑡* , 𝐀𝑡* , 𝐋𝑡* ) ∈ P𝑡∖P𝑡−1, então (𝐁𝑡* , 𝐀𝑡* , 𝐋𝑡* ) é uma inovação.

2.2 Agentes

Na economia, existem um conjunto F' = {1, … , 𝑁𝑓} de empresas e um conjunto N' = {1, … , 𝑁} de agentes. Em cada 𝑡, cada agente 𝜈 ∈ N' possui um vetor 𝑚×1 de dotações de capital 𝝎𝜈(𝑡−1) e possui uma dotação de tempo de trabalho normalizada para um. O nível de habilidade do agente 𝜈 é 𝜎𝜈 > 0, e, portanto, sua dotação de trabalho efetivo é 𝑙𝜈 = 𝜎𝜈. Um agente 𝜈 ∈ N' dotado de (𝑙𝜈, 𝝎𝜈[𝑡−1]) pode vender uma quantidade 𝑧𝜈𝑡 de sua força de trabalho e/ou pode contratar outros para operar uma técnica (𝐁𝑡, 𝐀𝑡, 𝐋𝑡) ∈ P𝑡 no nível 𝐱𝜈𝑡. O agente 𝜈 pode alocar sua renda ao consumo, representado pelo vetor 𝑚×1 𝐜𝜈𝑡, e à poupança, dada pelo vetor 𝑚×1 𝐬𝜈𝑡 = 𝝎𝜈𝑡 − 𝝎𝜈(𝑡−1).

2.3 Preços e valores

Em cada

[8]: Foley (2003, p. 1) destaca "a capacidade dos métodos dos economistas políticos clássicos, Adam Smith, Thomas Malthus, David Ricardo, e seu crítico, Karl Marx, de revelar o caráter de auto-organização da economia capitalista considerada como um sistema complexo, adaptativo e fora do equilíbrio". Sobre a economia política clássica e a dinâmica evolutiva, consulte também Foley (2003, p. 18).

[9]: Para garantir que a equação (4) seja bem definida, assume-se que cada técnica (𝐁𝑡, 𝐀𝑡, 𝐋𝑡) seja completamente produtiva (Kurz & Salvadori, 1995, p. 239). Uma técnica (𝐁𝑡, 𝐀𝑡, 𝐋𝑡) ∈ P𝑡 é chamada completamente produtiva se e somente se, para qualquer vetor semi-positivo 𝐲∈ℝ𝑚+, existe um vetor não negativo 𝐱∈ℝ𝑚+ tal que (𝐁𝑡 − 𝐀𝑡)𝐱 = 𝐲.

[10]: Para uma discussão abrangente, consulte Desai (1988) e Mohun and Veneziani (2017).

[11]: Para uma pesquisa que se concentra especialmente em contribuições mais recentes, consulte Fratini (2019).

[12]: Contribuições anteriores usaram ferramentas analíticas e exemplos numéricos para mostrar que fenômenos como reswitching e aprofundamento reverso de capital não são uma casualidade e podem ocorrer com probabilidade positiva - embora baixa; consulte, por exemplo, Eltis (1973), Schefold (1976).

[13]: Formalmente, para uma atividade (𝐀, 𝐋) ∈ P𝑡, o setor 𝑗 é representado por (𝐀⋆𝑗 , 𝐿𝑗 ).

[14]: Lembre-se de que 𝐴22 denota a quantidade de bem 2 necessária para produzir uma unidade do próprio bem 2.

[15]: Resultados semelhantes são obtidos por D'Ippolito (1987) em sua análise computacional do modelo Samuelson-Hicks-Spaventa. No entanto, consulte Petri (2011) para uma crítica a D'Ippolito (1987) e uma reavaliação computacional de seus resultados, que levam a probabilidades muito mais altas de aprofundamento reverso do capital.

[16]: Zambelli (2018) também constata que apenas uma fração muito pequena das curvas salariais realmente aparece na parte relevante do envelope. Isso sugere que, em geral, a eficiência não é alcançada, um resultado bastante surpreendente. Somos gratos a Bertram Schefold por nos chamar a atenção para isso.

[17]: A interpretação das atividades (𝐀, 𝐋) depende, argumentavelmente, da suposição de que apenas o capital circulante é usado na produção. Se o capital fixo for considerado, então, como Flaschel et al. (2012, p. 455) argumentaram, é questionável combinar os insumos intermediários de diferentes setores de anos diferentes "em uma única técnica e sua curva hipotética de salário-lucro, sem reconhecer que esses insumos podem ser específicos para o capital que está vinculado ao seu processo de produção".

[18]: Zambelli et al. (2017) usam o algoritmo para derivar algumas medidas interessantes de produtividade e progresso técnico em uma abordagem clássica.

[19]: Baqaee e Farhi (2019) reintroduziram recentemente o debate sobre a teoria do capital para uma audiência convencional. Usando um modelo de equilíbrio geral, eles provam analiticamente que "tentar capturar um modelo desagregado de produção postulando diretamente um modelo agregado não funciona fora de casos muito especiais" (Baqaee & Farhi, 2019, p. 1362). Em vez de tentar agregar fatores de produção, eles se concentram em agregar produtores heterogêneos em equilíbrio geral competitivo, argumentando que as funções de produção agregadas devem ser tratadas "como objetos de forma reduzida endógenos em vez de estruturais" (Baqaee & Farhi, 2019, p. 1339). Com base nessa abordagem, eles obtêm "resultados gerais de agregação que expressam as elasticidades macroeconômicas de substituição entre fatores e o viés macroeconômico da mudança técnica em termos das elasticidades microeconômicas de substituição e das características da rede de produção" (Baqaee & Farhi, 2019, p. 1339). No entanto, seus resultados dependem de suposições bastante especiais sobre preferências e tecnologia, e seria interessante investigar sua robustez usando métodos computacionais.

[20]: Para uma explicação teórica dessas descobertas, consulte Schefold (2016). Para uma perspectiva contrária, consulte Petri (2011) e Dvoskin e Petri (2017).

[21]: Torres-González e Yang (2019) desenvolvem um modelo probabilístico para estudar regularidades estatísticas em 𝐀𝑡 para os Estados Unidos durante 1963-2007 e encontram distribuições empíricas estáveis de 𝐀𝑡 ao longo das séries temporais disponíveis. A estabilidade dessas distribuições é vista como contribuindo para a linearidade observada das curvas salário-lucro em outras análises empíricas. Consulte Scharfenaker (2021) para uma pesquisa das contribuições usando o tipo de modelos probabilísticos empregados por Torres-González e Yang (2019).

[22]: Descrições particularmente claras do processo de gravitação e dinâmica de preços podem ser encontradas, por exemplo, em Smith (2000, pp. 65-66, 70, 114), Ricardo (1951, pp. 88, 91) e Marx (1981, pp. 275, 297-298).

[23]: A literatura é vasta também nesse campo. Uma amostra representativa, mas longe de ser abrangente, inclui: Morishima (1976), Flaschel e Semmler (1986b, 1987), Duménil e Lévy (1990), Flaschel (1990), Semmler (1990), Duménil e Lévy (1991), Flaschel (2010), Cogliano et al. (2018).

[24]: A demanda agregada é aproximada por (1 + 𝑟^𝑒 )Ãx, onde Ãx representa a demanda dos trabalhadores por bens de consumo mais o investimento de reposição dos capitalistas. A suposição implícita é que a demanda agregada cresce uniformemente à taxa de equilíbrio 𝑔 = 𝑟^𝑒 .

[25]: De fato, existe um continuum de equilíbrios, uma vez que as parcelas de propriedade podem assumir qualquer valor quando o equilíbrio é alcançado, dependendo de seus valores iniciais e da trajetória exata para o equilíbrio.

[26]: Duménil e Lévy (1990) e Duménil e Lévy (1993, Cap.7) provam analiticamente a existência e estabilidade do equilíbrio de longo prazo clássico em uma versão simplificada do modelo com dois bens, duas empresas idênticas e um capitalista.

[27]: Em outras palavras, os capitalistas ajustam suas expectativas de taxas de lucro futuras com base em experiências e eventos passados recentes, incluindo os valores passados das próprias taxas de lucro.

[28]: De fato, vários resultados podem ser estendidos a modelos walrasianos (Flaschel, 1990; Flaschel & Semmler, 1987).

[29]: Talvez surpreendentemente, no entanto, as forças competitivas não desempenham um papel real na determinação dos resultados de mercado. Porque os preços de oferta são determinados apenas pela disponibilidade de dinheiro dos agentes, os desequilíbrios de mercado não têm efeito (direto ou indireto) nos preços, seja a longo prazo ou a curto prazo. Nesse sentido, a Teoria do Valor do Trabalho (LTV) não surge como resultado da concorrência de mercado.

[30]: Isso está de acordo com "a abordagem probabilística à economia política iniciada por Farjoun e Machover (1983)" (Wright, 2008, p. 385), discutida na Seção 3.3.

[31]: Observe que a função Cobb-Douglas não representa as preferências dos agentes no sentido convencional: ela desempenha um papel apenas na determinação dos preços de oferta dos agentes, e não na derivação de suas funções de demanda. Neste modelo, os agentes não usam procedimentos de otimização padrão: eles adotam regras práticas e consomem os dois produtos em proporções fixas.

[32]: Vale a pena ressaltar que, embora uma interpretação típica da Teoria do Valor do Trabalho (LTV) seja que ela afirma a proporcionalidade entre valor e preço, a própria leitura de Marx era de que em uma economia capitalista os preços necessariamente se desviam dos valores e que a relação entre magnitudes de preço e valor só se mantém no nível agregado (para uma discussão detalhada, consulte Mohun e Veneziani, 2017). No entanto, essa distinção não é relevante aqui, uma vez que nos modelos examinados nesta seção, o trabalho é o único insumo utilizado na produção.

[33]: Veja, por exemplo, as referências na nota de rodapé 22. Para uma discussão abrangente dos processos de gravitação na economia política clássica-marxista sob a perspectiva da teoria da complexidade moderna, consulte Foley (2011) e Shaikh (2016).

[34]: Para uma discussão detalhada da teoria de Farjoun e Machover (1983), consulte Mohun e Veneziani (2017). Para uma visão geral da literatura que utiliza métodos de equilíbrio estatístico na economia política clássica e marxista, consulte Scharfenaker (2021).

[35]: Veja, por exemplo, as contribuições em Cockshott et al. (2009).

[36]: Ou seja, os valores do trabalho e os preços em certificados de trabalho coincidem ou são proporcionais. Os argumentos morais e de eficiência por trás dessa proposta são elaborados em Cockshott e Cottrell (1997).

[37]: Cockshott e Cottrell (1993b) também oferecem alguns métodos para lidar com questões de trabalho qualificado ou complexo em seu socialismo baseado em tempo de trabalho, além de expandir sobre questões de comércio internacional, propriedade e direitos de propriedade, e democracia.

[38]: Metodologicamente, o foco nas funções de utilidade individuais torna a análise das alocações socialistas de Roemer (2008, 2019) mais próxima das abordagens neoclássicas e uma exceção em comparação com as outras contribuições examinadas aqui. No entanto, o tópico analisado o torna obviamente relevante para a nossa pesquisa e justifica sua inclusão aqui.

[39]: Esse conceito também é conhecido como a solução proporcional. Para uma discussão, consulte Roemer (2019).

[40]: As suposições básicas sobre as principais funções e parâmetros do modelo são amplamente semelhantes às de Roemer (2008).

[41]: Como o próprio Roemer (2020, p. 46) observou, também deve-se estar ciente "da importância do ethos cooperativo para o socialismo e da possível interação dinâmica entre esse ethos e as relações de propriedade".

[42]: Para uma discussão, consulte Yoshihara (2010, 2017) e Mohun e Veneziani (2017).

[43]: Em princípio, os agentes também podem operar seu próprio capital. No entanto, Cogliano et al. (2016, 2019) provam que o trabalho autônomo pode ser ignorado no equilíbrio sem perda de generalidade.

[44]: A "borda da faca" é definida como uma situação em que as dotações de capital agregado são exatamente suficientes para empregar a quantidade agregada de trabalho (efetivo) na economia.

[45]: Esse conceito de classe, focando nas relações de produção e na relação capital/trabalho, está claramente enraizado na tradição clássica-marxista. Em contraste, em sua famosa análise computacional do surgimento de clivagens sociais, Axtell et al. (2001) definem classes em termos das parcelas de uma determinada quantidade de um bem econômico sobre o qual os agentes negociam. Embora esse bem seja interpretado como "propriedade", ele não é capital no sentido clássico-marxista, e sua análise se concentra no papel das normas sociais na criação de desigualdades econômicas duradouras, em vez da relação riqueza/classe clássica-marxiana.

[46]: Formalmente,

[47]: A primeira instância de uma abordagem computacional para estudar a formação de classes em economias de acumulação é um trabalho não publicado de Takamasu (2008). No entanto, esse trabalho não analisa a exploração e considera apenas um cenário muito básico com tecnologia constante, população constante e consumo constante, além de um tratamento rudimentar das decisões dos agentes.

[48]: Se não houver mudança técnica e tanto a população quanto as normas de consumo forem constantes, 𝐴𝑡 = 𝐴0, 𝐿𝑡 = 𝐿0, 𝑁𝑡 = 𝑁0, 𝑏𝑡 = 𝑏0, para todos os 𝑡.

[49]: Em outras palavras, 𝐾𝑖𝑡^S é "a quantidade da ... máquina mais recente que seria necessária para produzir [𝑥𝑖𝑡^S]" (Laibman, 1981, p. 50). Isso é necessário porque os bens de capital de diferentes vintages são heterogêneos e não podem ser simplesmente somados.

[50]: Assume-se que os vintages antigos de capital estão "congelados" e não podem ser transferidos entre setores.

[51]: "Na realidade, os capitalistas nunca escolhem entre técnicas estaticamente preexistentes; eles escolhem um curso de ação, ou seja, um caminho de mudança técnica" (Laibman, 1981, p. 70).

[52]: Em outras palavras, os agentes negociam sobre a renda líquida do consumo de subsistência. Observe que 𝑤̃𝑡 ∈ [𝑏, 1/𝜆𝑡] garante 𝑟𝑡 ≥ 0. Observe também que a população não é constante, daí o subscrito temporal N𝑡.

[53]: Sob essas suposições, a taxa de crescimento do emprego em cada setor 𝑖 = 1, 2 é 𝑔𝐿𝑖 = 𝑎𝑖 * 𝑟𝑖.

[54]: Em Foley (1987), 𝐹 consiste em holdings de dívida de outras empresas e, no agregado: 𝑀+𝐹=𝐷. O estado de uma empresa em qualquer período de tempo é descrito pelo seu balanço patrimonial, que inclui 𝐾, 𝑀, 𝐹, 𝐷 e patrimônio líquido 𝐸.

[55]: Observe que, enquanto as vendas aumentam os ativos monetários, 𝑆𝑓(1 − 𝑞𝑓) diminui o capital produtivo da empresa 𝑓.

[56]: Foley (1992) desenvolve uma teoria de ciclos de liquidez que, em um nível conceitual amplo, está relacionada a Foley (1987) e modela ciclos endógenos que surgem "da instabilidade inerente à tomada de decisões descentralizada em economias capitalistas", algo que está "profundamente enraizado na tradição marxista e keynesiana" (Foley, 1992, p. 1071). No entanto, o artigo tem um foco mais convencional em agregados macroeconômicos e não lida com a taxa de lucro, portanto, não discutiremos detalhadamente aqui.

[57]: Em outras palavras, problemas de demanda efetiva surgem no nível da empresa e afetam suas decisões de um período para o próximo.

[58]: Supondo 𝐁=𝐋=0.